Nedir bu Asal Sayılarla Pi Sayısı arasındaki bağlantı?!

Pi sayısı ve Asallar;

Biri sırrı keşfedilmeyi bekleyen matematiksel bir sabit, diğeri yine sırrı keşfedilmeyi bekleyen ve her sayının yapı taşı olan özel bir sayı dizisi…

Bu ikisinin birbiriyle bağını aslında yıllar önce matematik ve fizikle akademik seviyede ilgiliyken bile bilmiyordum. Böyle ufak detayları görüp öğrenmek ve paylaşmak hoşuma gidiyor.

Aslında böyle ufak detaylar bazen bir eğitimcinin anlattığa konuya derinlik  katar; bazen kafası karışık bir öğrencinin taşları yerine oturtmasını sağlar; bazen konuyu hiç bilmeyen birinin ilgi duymasını vs.

Benim durumumda prensipte birbiriyle ilgisiz görünen iki şeyin sürpriz bağlantısını görmek ilginç oldu…

Evet gelelim konuya;

Pi sayısının oldukça ilginç bir formülü mevcut; hatta o kadar ilginç ki meşhur matematikçi Leibnitz bu keşfinden sonra avukat olmaktan vazgeçip kendini tamamen matematiğe vermiş:

piprimes5.png

Böyle bir asimetrik toplamın sonucunun neden pi/4 olduğunu bildiğimiz yöntemlerle (hemen bulmak mümkün ancak gelin çok başka yollardan gitmeye çalışalım…

Önce bir soru:

Tam sayı birimlere ayrılmış bir x-y düzlemi düşünün ve merkezi (0,0) noktası olan bir herhangi bir çember çizin (örneğin çapı 10 birim olsun)

Soru şu: Bu çemberin içinde kaç tane nokta olur?

piprime1

Mantıken her birim kare alana 1 nokta düştüğünü gözlersek; sonuçta ‘aşağı yukarı’ çemberin alanı kadar nokta var diyebiliriz.

Çemberin çapı büyüdükçe bu yakınsama daha da doğrulaşacaktır tabii…

Yani diyebiliriz ki;

Çapı R olan Çemberin içindeki noktaların sayısı ~ pi R^2

Peki kendimize tekrar soralım; çapı R olan çemberin içindeki noktaları bulmanın başka bir yöntemi olabilir mi?

Çünkü eğer varsa, bulacağımız eşitlik pi R^2’ye eşit olacak ve otomatik olarak bize  hakkında fikir veren bir formül elde etmiş olacağız…

Örneğin deneme amaçlı hangi çemberlerin bu noktalar üzerinden geçtiğini bulmaya çalışalım… Üstteki figürdeki gibi birim karelere bölünmüş bir düzlemde, bir çemberin bu noktalar üzerinden geçmesi demek çapının otomatik olarak, N bir doğal sayı olmak koşuluyla N^1/2 şeklinde olması demek… Yani tek tek bakarsak çapı 1^1/2 ise, çapı 2^1/2 ise… vs. kaç noktanın üzerinden geçiyor şeklinde:

piprime2.png

Görselin yukarısındaki sayılar yarıçapı  olan çemberden yarıçapı  olan çembere kadar tüm çemberlerin üzerinden geçtiği nokta sayısı. Görüldüğü gibi pek bir düzeni varmış gibi görünmüyor.

Şu ana dek belli bir R yarıçapındaki çemberin içindeki çemberlerin hangilerinin grid noktalarını kestiğini hangilerinin de kesmediğini öğrendik.

Peki buradan Asal Sayılara nasıl bağlayacağız?!

Noktaları kesen çemberlerle kesmeyenlerin yarıçaplarına bir bakın bakalım…

Not: Yazının bu bölümünü burada noktalayacağım çünkü devamında ‘analitik devamlılık’ kavramına girilip öyle devam edilmesi gerekiyor.

Matematiğe ve hatta fiziğe de meraklı olanlar (metriklerdeki singularity’ler/kardelikler vb. konularla doğrudan ilgisi olduğu için) oldukça önemli bir kavram o yüzden ayrı incelemek lazım.

Eninde sonunda ortaya çıkacak ki sayıların asal çarpanlara ayrılabilme özelliği bize pi sayısını verecek… Bilimde bir çok şey önemini, o şeyin ne kadar çok alana etkisi olduğunu öğrendiğinizde yakalar. Asalların matematiğin ve dolayısıyla matematikle formüle edilmiş her şeyin ne kadar temel bir yapı taşı olduğunu her seferinde daha iyi anlıyorum.

Tamamı şu harika videoda:

Reklamlar

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s