Ricci Tensorü ve Sabiti Nedir?!

Genel Görelilik Kuramını anlamak üzerine 3. yazımız ile devam ediyoruz.

Öncesinde;

Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Ve son yazıda Einstein Alan Denklemini oluşturan parçaları tek tek incelemeye başlayıp Metrik Tensörü ele almıştık:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/06/tensor-ve-metrik-tensor-nedir/

……..

Bu yazıda, Einstein Denkleminin bir diğer parçası olan Ricci Tensörü ve Eğim Sabitini (curvature scalar) inceleyeceğiz:

gr46

(Not: Detaya girmeden önce son paragrafları önce okuyup sonra da buraya geri dönebilirsiniz.)

Öncelikle tensörler hakkında genel bir bilgi ile başlayalım;

Herhangi bir W ve V tensörleri eğer bir x-koordinat sisteminde eşitse

gr47.png

Her koordinat sisteminde eşittir.

Yalnız aynı şey tensörlerin türevleri için geçerli değil; çünkü türev dediğimiz kavram yani incelediğimiz fonksiyonun belirli bir noktaki eğitimi, farklı koordinat sistemlerinde farklı olabilir.

GR48

Matematiksel hesapları atlayarak (bir önceki yazıdakine çok benzer yöntemlerle) farklı bir koordinat sistemine geçildiğinde bir tensörün türevi şöyle değişiyor:

gr49.png

Özetle bir tensörü bir koordinat sistemindeki türevi, başka bir koordinatta Christoffel Sembolü kadar bir düzeltmeye uğruyor diyebiliriz.

Özetle bir tensörün türevinin genel tanımı (genel türevi/covaryant türevi ∇ notasyonu ile gösteriyoruz):

gr50.png  (1)

Şimdi diyeceksiniz ki ‘Neden bu acıları çekiyoruz?!’…

Hemen açıklayayım:

i) Önceki yazıda metrik tensörü,

gr26 öğrenmiştik… Metrik tensör özetle; bir uzayın, kartezyen koordinatlara göre farkının (ya da ne kadar kalibre olduğunun) bilgisini veren tensördü… Kısaca, içinde bulunduğumuz uzayın geometrisini tanımlayan tensör.

ii) Az önce bir tensörün türevini hesaplamanın formülünü bulduk… Yani bir anlamda bir tensörün, tanımlandığı uzaydaki eğimini hesap edebiliriz.

O halde neden bunu metrik tensör için yapmayalım?!

Ve madem metrik tensör bize uzayın geometrisini tanımlayan tensör, bunun türevini bulmamız demek; içinde bulunduğumuz uzayın eğimi/eğriliği hakkında bize bilgi veren bir sonuç elde etmemiz demek.

………..

Denklem (1)’i kullanarak:

gr51.png (2)

Görüleceği gibi bu denklemden Christoffel Sembollerini hesaplayabiliriz (uzun iş)…

– Niye bu kadar taktın bu Christoffel Sembollerine, Einstein denkleminde geçmiyor bile?! diyeceksiniz…

Hemen şimdi anlatacağım sebepten,

…….

Bir kürenin üzerindeki üçgende bir vektör düşünün ve bu vektörü bu üçgen üzerinde kendisine paralel şekilde ilerletin:

gr52.png

Şekilden de görüldüğü gibi vektör başladığı halinden farklı bir yönde geri geliyor…

Büyüklüğü aynı ancak oryantasyonu farklı.

Örneğin bunun aynını küre üzerinde değil de bildiğimiz düz dikdörtgende yapsak, vektörün ne yönü ne boyutu değişir.

İşte bu ‘paralel taşıma’ dediğimiz işlemi yaptığımızda bir vektör aynı da kalabilir farklı da olabilir.

Bu iki vektör arasındaki farkı incelediğimizde, bu farka dV diye tanımlarsak (matematiksel detayı atlayarak)

gr54

Yani, Ricci Tensörü dediğimiz şey aslında bir anlamda; içinde bulunduğu uzayda/geometride bir vektörü paralel taşıdığımızda her noktada uğradığı değişimin, normal Kartezyen Koordinattaki durumdan farkını veren araç…

…….

Şimdi geldiğimiz noktayı özetleyelim:

  1. Önceki yazıda metrik tensörün, bir uzayın, kartezyen koordinatlara göre farkının (ya da ne kadar kalibre olduğunun) bilgisini veren tensör olduğunu öğrendik. Kısaca, içinde bulunduğumuz uzayın geometrisini tanımlayan tensör.
  2. Bu yazıda; farklı koordinatlarda bir tensörün türevinin kalibre olduğunu, bunun da ölçüsünün Christoffel sembolleri ile verildiğini gördük.
  3. Yine bu yazıda; bazı geometrilerde bir vektörün paralel taşıdığınızda aynı şekilde geriye dönmeyeceğini; bu taşıma işleminin bildiğimiz kartezyen koordinatlara göre farklılığının ölçüsünün de Ricci Tensörü tarafından belirlendiğini gördük.
  4.  Einstein denkleminde R şeklinde geçen ve eğim sabiti olarak adlandırılan sabit de tamamen bu Ricci tensöründen çıkarılan bir sabit. R=0 ise uzayımız eğimi olmayan Öklid uzayı. R sıfırdan farklıysa uzayımız eğimli.

Konuyu basitçe açıklayan bir video için:

 

……

Dikkat ederseniz oldukça ilerledik ve Einstein denkleminin sol tarafındaki sembollerin tamamının anlamını öğrendik;

GR21

Ve yine tüm bunlardan ortaya çıkan ilginç bir nokta daha var;

  • Şimdiye dek öğrendiğimiz her şey uzayın geometrisi ile ilgili bilgi veren matematiksel araçlardı. Denklemin sol tarafına bir bakalım; Ricci tensörü, Ricci sabiti ve metrik tensörden oluşuyor… Yani denklemin sol tarafı tamamen içinde bulunduğumuz uzayın geometrisi ile ilgili. Bir sonraki yazıda sağ tarafı incelediğimizde göreceğiz ki orada da geometriye dair hiç bir şey yok… Sağ tarafta Stress-Enerji tensörü sol tarafta uzayın geometrisi!..

İşte kütleçekiminin uzayın geometrisinden ileri gelen, öyle tanımlanan bir kavram olduğu gözlemi tam olarak Einstein denklemlerinin bu yapısından ileri gelmekte.

  • Üstelik hangi geometri olduğunu da empose etmiyor. Yani bu denklemin çok farklı boyuttaki veya özellikteki uzaylarda/geometrilerde çok ilginç çözümleri mümkün…

Bu da bizi 1-2 yazı sonra karadeliklere götürecek.

…..

Evet yolun yarısını geçmiş bulunuyoruz. Sonraki yazıda denklemin geri kalanını da bitirip çıkarımını yapacağız.

 

 

 

 

 

 

Reklamlar

Bir Cevap Yazın

Aşağıya bilgilerinizi girin veya oturum açmak için bir simgeye tıklayın:

WordPress.com Logosu

WordPress.com hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Twitter resmi

Twitter hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Facebook fotoğrafı

Facebook hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Google+ fotoğrafı

Google+ hesabınızı kullanarak yorum yapıyorsunuz. Çıkış  Yap / Değiştir )

Connecting to %s