Zannedenler Kulübü – Matematik ve Güven

‘Güven’ ve ‘Güvensizlik’ kavramlarına, toplumda nasıl yayılabileceklerine dair muhteşem bir simülasyona denk geldim… Herkes en az 3-5 defa oynasın ve iyice idrak etsin derim (Türkçe versiyonu da mevcut):

Toplumda bireyler arası güven ilişkisinin neden yok olduğunu, hangi koşullarda nasıl inşa edilebileceğine dair matematiğin bir alanı olan Oyun Teorisini kullanarak hazırlanmış çok başarılı bir iş.

İlk defa duyduğum tarihi bir gerçekle başlıyor; 1. Dünya Savaşı başında 1914’te batı cephesinde iki cephedeki askerler, 25 Aralıkta gayri resmi bir ateşkes ile savaşa ara verip birbirlerinin alanına geçip Noel’i kutlamışlar. Hiç bir kayıp verilmemiş, karşılıklı güveni bozan tek bir olay yaşanmamış.

wwtruce1

Düşünsene bunun tam bir asır sonra bu devirde olması mümkün mü?!

Bu retorik soruyu yazarken ben bile gülümsedim…

Simülasyonumuz karşılıklı basit bir oyun ile başlıyor;

İki taraflı bir para makinesinin iki tarafında siz ve rakibiniz var. Makineye 1 bozuk para attığınızda karşı taraf 3 bozuk para alıyor; ve aynı şekilde o 1 attığında siz 3 kazanıyorsunuz.

Olasılıklar belli;

İkiniz de para attınız —–> Ortak çalışma

İkiniz de hile yaptınız veya ikinizden biri hile yaptı…

İlk soru: Diyelim karşı taraf hile yaptı ve bozukluk atmadı. Doğru hamle ne; sizin de bozukluk atmamanız mı yoksa atmanız mı?

Cevap tabii ki sizin de aynı şekilde hile yapıp atmamanız. Kayıp/kazanç matrisi ortada:

chance1.png

İşin ilginç tarafı karşı taraf dürüst davranıp 1 bozukluğu atsa bile kazanan strateji yine bizim hile yapmamız yönünde!..

Bundan sonra simülasyon sizi 5 farklı karakterde oyuncu ile karşılıklı oynatıyor.

Bu karakterler şöyle:

i) Kopyacı karakter: İlk hamlesi ortak hareket. Sonraki hamlelerinde siz ne yapmışsanız onu taklit ediyor…

ii) Hep hileci: Adı üstünde sizin hamlenizden bağımsız hiç ortak hareket etmeyen, hilesi garanti olan….

iii) Hep ortak hareket eden: Adı üstünde

iv) Kinci: Siz ortak hareket ettikçe o da ortak hareket ediyor; bir kez hile yaptığınız andan itibaren bir sonraki hareketi hep hile yapmak…

v) Analizci: İlk 4 hamlesi ortak, hile, ortak, ortak… Sonrasında hile yaparsan ‘kopyacı’ gibi, ortak davranırsan ‘hep hileci’ gibi davranıyor…

Şimdi işin ilginç tarafı simülasyon, günlük hayatta da her gün karşılaşılabilecek bu tipleri kendi aralarında yarıştırıyor ve ortaya şahane bazı gerçekler çıkıyor:

  • Aralarında bir kez oynadıklarında Kopyacı karakter diğerlerinin hepsine üstün geliyor. Altın sonuç:

Karşındakinin sana nasıl davranmasını istiyorsan öyle davran…

Resmen oyun teorisi ile güzel bir gösterimi olmuş :)..

  • İkinci aşamada bu grupları birbirlerine karşı defalarca oynatıyor; kazanan grubun oyuncu kazanacağı, kaybedenin oyuncu kaybedeceği şekilde… Sonuçlar yine ders niteliğinde:
  1. Uzun vadede ‘kopyacı’ grup yani karşısındakine kendine davranıldığı gibi davranan grup dünyanın hakimi oluyor.
  2. Ancaaak… Kısa vadede yani gruplar birbirlerine karşı defalarca değil de 3-5 oynatılırsa ‘Hep Hileci’ grup dünyanın hakimi oluyor.
  • Önceki deneyden çıkarılacak muhteşem sonuç şu:

Bireyler arasında ikili ilişki miktarı ne kadar az ise yani az önceki oyunu ‘çok tekrar etme’ ihtimali ne kadar az ise ‘Hep hile yapanların’ kazanma şansı o kadar artıyor…

Örneğin 1985’te Amerikalılar yakın arkadaş sayısını 3 ortalama üç olarak verirken bu sayı 2004’te sıfıra yakın çıkmış (sosyal medya hariç). Güven ilişkisi kavramı gerçek bir etkileşime bağlı olduğundan sosyal medya bağlamında bu durum güvensizliğin değil de en fazla yanlış bilginin hızlıca yayılmasını açıklayabilir.

Özetle, ne kadar çok gerçek bağlantınızın olduğu arkadaşınız varsa dünyanın ‘hep hile yapan’ grubun eline geçmesine o kadar mani oluyorsunuz!..

Matematiğin şu gerçeği bu kadar basitçe göstermesini seviyorum.

  • Grupların karşılıklı oyunundan çıkan bir diğer önemli sonuç:

Güven ilişkisinin yayılması, bir tarafın kazanıp diğerinin kaybedeceği bir oyun (sistemle) değil kazan/kazan türü bir oyunla mümkün.

Peki ya hayatta kazara/istemeden yapılan yanlışlar.. Yani aslında makineye para atmak için giderken ayağımız takıldı, düştük ve karşı taraf atmasına rağmen biz atmayınca oyunu hile ile kazanmış olduk.

Bu durumlara da karşılık gelen yeni karakterler eklersek:

i) Affeden Kopyacı: Siz ancak iki kez hile yaptıktan sonra hareketinizi kopyalayan tür… Yani size bir yanlış şansı veriyor, ikinci yanlışta artık ona nasıl davranıyorsanız o da öyle davranıyor.

ii) Basitler: Ortak hareket ile başlıyor. Siz de ortak hareket ederseniz sonraki hamlesi hep sizin son hamleniz şeklinde; Hile yaparsanız sonraki hamlesi hep sizin tersiniz şeklinde…

iii) Rastgeleciler: Ortak hareket ve hile şansı %50 olup kural takip etmeyen tipler…

Bu gruplara ‘Hep Hileciler’ ve ‘Hep Ortaklar’ eklenip sisteme bir de ‘Yanlış Anlama İhtimali’ parametresi katıldığında… Aralarındaki maçlardan ortaya çıkan sonuç yine ibretlik:

Yanlış Anlama Parametresi

  • %0 ise Kopyacılar
  • %1-9 arasındaysa Affeden Kopyacılar
  • %10-49 arasındaysa Hep Hileciler

Dünyanın hakimi oluyor.

Özetle, ‘az iletişimsizlik’ affetmeye; biraz fazla iletişimsizlik tamamen güvensizliğe yol açıyor.

Hayatın kendisinin matematikle paralelliği ne kadar açık değil mi?

Güven yaratmanın ana unsurlarının:

  1. Mümkün olduğu kadar çok gerçek bağ
  2. Kazan-Kazan senaryoları
  3. Minimum İletişimsizlik

olduğunu…

Kısa vadede oyunun kendisinin oyuncuları belirlediğini; ancak uzun vadede oyuncuların oyunun kendisine hakim olduğunu…

Basit matematikle ispatladık.

Pekiii…

Önümüzde bu kadar açık bir tablo varken… Karşımızdakine bize davranıldığı gibi davrandığımızda uzun vadede kazananların bu grup olacağı apaçıkken böyle mi olacak sizce?!

Evet diyenler için yeni bir grubu bu sefer ben oluşturdum. Adı, Zannedenler Kulübü..

Bu devirde her şeyin daha iyi olacağını zannedenler!..

Bu simülasyon gösteriyor ki her kararın/yargının/sonucun/hissin vb. çok kısa dönemlere tabi olduğu bu çağda periyodik ve ağırlıklı olarak ‘Hep Hileciler’ kazanacak…

Ne kadar süre kim bilir… Ancak bu devrin sonunda elde edilen bir ders olursa, karşılıklı faydacıların hüküm süreceği bir dünya mümkün olabilecek.

Onun da karşısında İlber Ortaylı’nın nefret ettiği Hegel’in meşhur sözü var:

Tarihten öğrenilecek tek bir şey varsa o da hiçbir şey öğrenilemeyeceğidir!…

Not: Bu simülasyonun sevdiğim diğer bir tarafı herkesin kendi sonucunu çıkarabilmesine olanak vermesi… Uzun vadede kazanan kooperatiflik mi kısa vadede kazanan hilecilik mi?!.. Bana karşındaki kaybetmeden kazanmış hissetmeyen insanoğlu ikincisinin sonucunda sağlam bir (veya bir çok) batış yaşamadan ilkine geçmez gibi geliyor.

 

 

 

 

Süpersimetri

Geçen gün babam Metin Gürses’in konuşmacı olarak katıldığı bir konferansa sırf onu görme amaçlı katılıp yıllar sonra 2-3 akademik semineri ard arda dinleme eziyetini çektim… Ama tabii peder bey için değer şüphesiz.

Cihan Saçlıoğlu’nu da görüp uzun muhabbet etme imkanı bulmamız da ekstra iyi geldi. İkisi ODTÜ Fizik’ten sınıf arkadaşları…Öğle yemeği için İTÜ’nün dibindeki İstinye Park’a gidelim dedim, ikisi de öğle yemeği biletlerini kullanıp kafeteryada yemeği tercih etti. Daha yan yana bir tane resimleri olmadığını öğrenince vazife edindim:

Zamanım genel olarak konuşmaları dinliyor gibi yapmakla geçti açık söyleyeyim… Ancak tüm bu konferansın Noether Kuramı’nın 100. yılını kutlama amacıyla yapıldığını öğrenince öğrencilik zamanından hatırladığım Noether Theorem neydi diye bir bakma ihtiyacı hissettim… Ve olayın o gençlik yıllarında fark etmeden geçtiğim sosyal ve bilimsel iki önemli yanı olduğunu gördüm…

noether

  • Emmy Noether, tarihte matematik doktorası almış ilk kadınlardan… 2. Dünya Savaşı’nda ABD’ye kaçmış. Yeteneği için Einstein özetle şöyle demiş:

Noether, kadınlara yüksek eğitim verilmeye başlanmasının ardından gelen en büyük yetenek…

Hikayesi için şu makale güzel: https://www.ias.edu/ideas/2017/emmy-noether%E2%80%99s-paradise

  • Bilimsel tarafı, ki en çok olayın bu kısmını kaçırdığıma pişmanım… Matematikle fiziği birleştiren en güzel kuramlardan:

Noether kuramı diyor ki;

Bir sistemde herhangi bir simetri varsa o sistemde mutlaka korunan bir fiziksel değer vardır!

Bunun tersi de geçerli, yani deney yapıp bir sistemde korunan bir fiziksel değer bulursak bu, o sistemde saklı bir matematiksel simetri olduğuna işaret ediyor…

Örneğin deney yaptık ve sistemde enerjinin korunduğunu bulduk. Bu sistemi ifade eden denklemler zamana göre simetrik (periyodik) demek!.. Bir sarkacın periyodik salınımını düşünün mesela.

Bu kuram o kadar derin bir kuram ki; uzun süredir üzerinde yazmayı düşündüğüm Süpersimetri konusunu bu bağlamda yazmaya karar verdim… Yalnız haberiniz olsun sonunda soracağım sorunun cevabından benim de haberim yok, bakıyorum.

Evet dünyanın gaz ve toz bulutu olmasından başlayan bu girişten sonra sadede gelelim…Nedir bu Süpersimetri denilen mevzu?!

Simetri dediğimiz şey aslında tanımı gereği güzel bir şey; temelde bir cismin yapısındaki harmoniye işaret eder. Doğada güzel görünen şeylerin simetrik özellikler barındırdığı bir gerçek… Tabi simetri derken akla gelen ilk soru “ Neye göre simetrik? “… Örneğin bizi ele alalım, bir resmimizin tam ortasından dikine bir çizgi çizsek, bu çizgiye göre sağ ve sol taraflarımız birbirinin aynıdır, yani neredeyse.. bu çizgiyi yatay olarak çizersek alt ve üst bölgelerimiz arasında en ufak benzerlik göremeyiz. Daha da ötesi, simetri dediğimiz şey sadece bir çizgiye (yani uzaydaki bir eksene) göre olmak zorunda değildir, zamana göre de olabilir. Örneğin bir hareket, iki saniyede bir kendini tekrar ediyorsa buna zamana göre simetrik; daha bilindik tabirle periyodik diyebiliriz.

Anlaşılacağı gibi simetriler, fizikçiler için hem incelemesi hem de keşfetmesi zevkli yapılardır. Peki bir simetriyi süper yapan nedir?!..

superpartner

Evren temelde iki tür nesneden oluşur. Birinci tür nesneler aslında biz insanlar gibi nesnelerdir. Hepimizin yapısı elektronlar, protonlar, nötronlardan oluşur. Bizim gibi nesneler derken örneğin bir duvarı ele alalım!.. Şimdi bu duvara sinirli bir anımızda sert bir yumruk attığımızı düşünelim. İlk ihtimal, duvara hiçbir şey olmayıp elimizin kırılması durumudur!.. İkinci ihtimal de duvarın şansımıza prefabrik olup, yumruğumuzun duvarı delip içinden geçmesidir. Bu anlattığımın fizikle uzaktan yakından bir ilgisi yokmuş gibi görünse de aslında bizim gibi nesnelerin ( ki bizim gibi nesneler demek yerine fizikçilerin kullandığı tabirle fermiyon diyelim ) uyduğu çok temel bir kurala işaret eder: İki fermiyon aynı anda aynı alanı kapsayamaz. Bu kurala “Pauli Dışlama İlkesi “ adı verilir.

İkinci tür nesneler ise örneğin ışık gibi nesnelerdir. Elinize iki fener alın ve birbirine doğru tutun, ikisinden de gelen ışığın hiçbir şey olmadan birbirinin içinden geçtiğini göreceksiniz. Aynı şeyi iki fıskiyeyi alıp yapmaya kalksanız, çarpışan su akımlarının birbirini dağıttığını görürsünüz. Fizikçiler ışık gibi ikinci tarz nesnelere bozon adını vermektedir.

Yani evren temel olarak fermiyon ve bozonlardan oluşur.

Süpersimetri ise, aslında bu evrende bu kadar da keskin bir ayrım olmadığını, fermiyonların ve bozonların bazen birbirleri gibi davranabileceklerini iddia etmektedir. Dolayısıyla bazen ışık gibi nesnelerin fıskiyedeki su gibi davrandığı bazen de bizim gibi fermiyonların birbirinin içinden geçebildiği bir evrenin varlığını iddia eder.

Bunu şöyle de yorumlayabiliriz, evrende her temel parçacığın teorik olarak bir de süper-partneri mevcuttur. Şu an CERN ve benzeri yerlerde gerçekleşen deneysel çalışmaların bir amacı da bu süper partnerleri bulmaktır.

[ Not: Zamanında bir yazımda bu mevzuyu ‘e madem her temel parçacığın bir süperpartneri var ve biz de özünde bu parçacıklardan oluşuyoruz, herkese kendi süper-partnerini bulması dileğimle’ şeklinde ilişkilere bağlayıp iğrençleşmişliğim bile var… ]

Daha teknik bir ifade ile; alttaki denklem evrende bildiğimiz tüm etkileşimleri ifade eden Standart Model denklemi (korkmayın! anlatıcam)

Aslında bu denklemin iki parçası var; ilk parça fermiyonların, ikinci parça da bozonların etkileşimleri olarak özetlenebilir… Bu denklem bu haliyle doğadaki bir çok soruya cevap verdiği gibi bir çok soruyu da açıkta bırakıyor; Kara Maddenin (dark matter) kaynağını açıklamaktan yoksun, String Theory ile uyumsuz vb…

Eğer evrenin süpersimetrik bir özelliği var diyorsak bu denklemi, fermiyon ve bozonların süperpartnerlerine göre genişletmemiz gerek. Ve Standart Model denklemini süpersimetrik yazarsak görüyoruz ki doğanın kuvvetleri yüksek enerji seviyelerinde birleşiyor! (sağdaki süpersimetrik hali)

susy1

Hatta öyle ki, Standart Modelin içine dahil olmamasına rağmen Kütle Çekimi de birleşiyor (neredeyse);

susy2

Yani teorik fiziğin en büyük başarılarından olan Standart Model eğer süpersimetrik ise doğanın kuvvetlerinin aslında tek bir kuramın farklı limitlerdeki farklı yüzleri olduğunu açıkça görmekteyiz —> (String Theory)

Ne güzel konuşuyorsun da bakalım nasıl bağlayacaksın sevgili kardeşim diyenler için uzatmayayım :)..

Noether Kuramı’na geri dönecek olursak, fiziksel bir sistemdeki simetrinin korunan bir fiziksel değere karşılık geldiğini biliyoruz…

Peki doğadaki etkileşimleri açıklayan (yani fiziksel gerçekliği olan) bir denklemde süpersimetri özelliği varsa bu hangi fiziksel değerin korunumuna karşılık geliyor olabilir?!..

Not: Öğrendiğimde yazacağım… Süpersimetri mevzusu ve varlığı ispat edilirse açıkladığı şeyler CERN gibi yerleri sizin için biraz daha anlamlı kıldıysa bile bu yazı amacına ulaşmış sayılır…

 

Kuramsal Fiziğin öngördüğü ekstra boyutları neden hissedemiyoruz?

Bir gitar düşünün, tek teli var ve akord edilmiş… Telin değişik yerlerinden farklı kuvvette vuruşlar yapmalıyız ki farklı bir çok ses elde edebilelim. Bir de notalar var; notalar telin oluşturduğu temel sesler olarak tanımlanabilir. Temel sesler derken kastettiğim; diğer bütün sesleri bu notaların farklı kombinasyonlarından elde edebiliyor olmamızdır.

Hatta yardımcı olayım size:

Şimdi aynı şeyin içinde yaşadığımız evrene uyarlanabileceğini düşünün!.. Nasıl mı?
Neredeyse bir yüz yıldır fizikçiler, evreni bütünyle açıklayabilen bir teorinin arayışı içindeler. Evreni bütünüyle açıklamakla kasıt, ayrı ayrı kavramları açıklayan teorilerin tamamını birleştiren genel bir teori bulmak… Doğada herşeyi yöneten dört temel kuvvet mevcut:

Kütle çekimi; Genel Relativite ile
Zayıf ve Kuvvetli Nükleer Kuvvetler; Kuantum Mekaniği ile
Yükler arası çekim; Elektromanyetik Teori ile
açıklanır.

Sicim Teorisi (String Theory) denilen kuram, doğadaki dört temel kuvvet ve bunları açıklayan üç teoriyi bir arada barındırıp, en azından matematiksel olarak doğru bir şekilde açıklayan ilk ve tek teoridir.

Sicim teorisi aslında basit bir mantıkla, doğadaki temel parçacıkların, aynı gitarın tellerinden çıkan notalar gibi, ufak sicimlerin titreşimleri olduğu prensibinden yola çıkmaktadır.

Theory of Everything - String Theory 4

Bu temel varsayımdan yola çıkıldığında 1980’lerin ikinci yarısında, doğadaki temel kuvvetlerin tamamını içinde barındıran ve içinde yaşadığımız evreni açıklamaya aday 5 tane tutarlı ve farklı Sicim Teorisi bulunmuştur. Önceleri, bilim adamları bu 5 teorinin birbiriyle yarışacağını, en tutarlı sonuçları veren ve deneysel sonuçlarla tutarlılık gösteren teorinin yarışı kazanacağına inanıyorlardı. Bu teorilerin en belirgin ortak özellikleri hepsinde evrenin 10 boyutlu ve hepsinin süpersimetrik (bkz: https://cangurses.wordpress.com/2013/04/19/herkese-bir-superpartner/ ) olmasıdır.

 

Peki bu ekstra boyutları neden günlük yaşamımızda göremiyoruz, hissedemiyoruz?

Aslında cevabı çok basit; iki tepe arasına gerilmiş bir halatta yürüyen bir karıncaya 1 km. uzaktan baktığınızı düşünün

ant1.png

O kadar uzak mesafeden karıncanın rotası size tek boyut üzerinden görünecektir. Yani o esnada biri size ‘Karınca nerede?’ diye sorsa sadece yatayda aldığı mesafeyi söyleyip geçersiniz… Halbuki çok çok yakından bakıldığında, karıncanın halat üzerinde sarmallar çizerek ilerlediği, yani 3 boyutlu bir hareket yaptığı net aslında.

İşte içinde yaşadığımız 4 boyutlu evreninin geri kalan boyutlarına dair algımızda aynı bu şekilde…

Sebep yine aynı; String Theory’deki temel mesafe birimi Planck ölçeğinin uzunluğu

h= 1.6 10^(-35) metre… Yani bir protonon çapının 10^(-20)’si kadar küçük…

Şöyle ifade edeyim, bizim için atom neyse atom için de Planck uzunluğu o!…

İşte evrenin; içinde bulunduğumuz uzay-zamanın bu kadar küçük bir ölçeğe kadar inildiğinde aslında sürekli değil parçalı bir yapıya sahip olduğu (yani aralarında kısa kısa mesafeler (planck ölçeğinde) olan noktalar gibi düşünün) düşünülüyor ve ancak bu ölçeklere inildiğinde bu boyutların etkisinin hissedilebileceği öngörülüyor.

Örneğin CERN gibi parçacık hızlandırıcılarının bir önemi de bu… Az önce bahsettiğim gibi eğer temel parçacıklar aslında 10 boyutta titreşen ufak iplikler ise teorik olarak şu an bu ipliklerin her boyuttaki titreşimlerinin enerjilerini hesaplayabiliyoruz. Dolayısıyla belki şu an elimizdeki hızlandırıcılarla değil ama daha iyileriyle bu ölçümlerin deneyini de yapmak mümkün olacak.

Yani tüm devletlerin bir araya gelip, binlerce bilim insanından oluşan bir merkez kurup, her yıl milyarlarca dolar harcayıp ‘atomları ışık hızına yaklaştırıp çarpıştırmalarının’ çok temel bir sebebi var;

Evrenin en temel prensibini anlamak…

Bakın, Planck boyutuna inildiğinde uzayın dokusunun neye benzeyebileceğine dair bir simülasyon size fikir verecektir:

Asal Sayıların Tablosu

Bu yazıyı yazmak uzun süredir aklımdaydı…

Bazen fark ediyorum ki bir mevzunun üzerinde sosyal medyada zaten 1-2 paylaşım yapmışsam sonra oturup üzerine yazı yazmak anlamsız geliyor. Garip ve kötü bir psikoloji aslında… Temelde o mecralarda yaptığınız derinliksiz, kısa paylaşımlar bir anda daha derinlikli işler yapılmasının önündeki motivasyonu kesiyor… Ayrı bir yazı konusu gibi…

Sayıların ve/veya sayı dizilerinin çeşitli koordinat sistemlerindeki görsel gösterimleri gayet ilgi çekici bir konu. Bu yazıda daha çok Asal Sayıların görsel halleri üzerinde duracağım.

Asalları biliyoruz;

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ….

şeklinde ilerleyen, kendi ve 1 haricinde başka bir sayıya bölünemeyen sayılar.

Ayrıca her sayının yapı taşları olma özellikleri var; her sayı, N tane asal sayının çarpımından oluşturabilir (hatta bu bir kuraldır). Bir başka deyişle Atomlar madde için neyse Asallar da sayılar için odur; tüm sayıların yapı taşlarıdır (konuyla ilgili olarak bkz: https://cangurses.wordpress.com/2017/06/18/nedir-bu-asal-sayilarin-gizemi-ve-riemann-hipotezi/)

Yalnız işin ilginci asal sayılar hakkında muhtemelen atomlar hakkında bildiğimizden daha az şey biliyoruz. Yani en azından atom ve atom altı parçacıkların etkileşimleri hakkında elimizde Kuantum kuramı mevcut. Asallar hakkında da ciddi bir literatür var yalnız bir o kadar da çözülemeyen problem mevcut. Bunlardan biri ve en önemlisi de bu sayı dizisinin ne gibi bir örüntü izlediği (eğer izliyorsa…).

Bu problem çok uzun zamandır üzerine çalışılan bir konu…

Bu tip dizileri görselleştirmenin amacı da bir miktar probleme farklı açılardan yaklaşmayı sağlamak. Tabi sonuçta elde edilen inanılmaz resimler de elde kar kalıyor.

Bu görselleştirme mevzularının başlangıcı sayılabilecek olayın hikayesi şöyle; Stanislaw Ulam adında, 2. Dünya Savaşı’nda Polonya’dan ABD’ye kaçmış, Manhattan Projesi gibi gizli bir takım projelerde de görev almış bir matematikçi 1963’te katıldığı bir seminerde sıkılır ve önündeki kağıtta sayılarla oynamaya başlar…

Önce spiral şeklinde tüm sayıları yazar ve sonra asal sayıları aradan seçer:

square-spiral-illustration.png

Farkına varır ki Asal sayılar hep diagonal çizgiler üzerinde gidiyor!

Sonrasında bunun daha geniş versiyonunu oluşturunca ortaya şöyle bir tablo çıkıyor:

ulam1.jpg

Bariz şekilde bazı diagonallerde diğerlerine göre daha fazla asal olduğunu gözlüyorlar…

Daha da ötesi belirli 2. dereceden denklemlerin asal sayıları verdiği ortaya çıkıyor.

Örneğin 4x^2 – 2x +1 size başlangıcı 3 olan diagonalin üzerindeki tüm asalları verecek…

Daha da ilginç bir şekilde spiral bir gösterim tercih edilirse elimize şu geçiyor:

growPrimes

Asalların bu gösterimi iki şeye aynı anda hizmet ediyor kanaatimce,

  • Herhangi bir matematik dersinde Asallar şudur deyip geçmek yerine böyle gösterilse öğrencinin perspektifi anında değişir… Benim gördüğüm kadarıyla öğrencinin niye öğrendiğini asla anlayamadığı bir konu Asal sayılar ve ilgili kazanımlar (ki mevcut durumda öğrenci haklı da sayılır).
  • Bu gösterimlerin bilimsel kazanımı da mevcut, yani bu örüntülerle çok daha derin seviyede uğraşan matematikçiler var.

Evet böylelikle ne işe yaradığını bilmediğimiz bir mevzuyu daha anlamlandırma çalışmamızın sonuna gelmişken Asalların en sevdiğim görseli ile yalnız bırakayım sizi.

 

Matematik bir icat mı yoksa zamanla keşfedilen bir gerçeklik mi?

Matematiğin mantıksızca etkili ve işe yarar olması…

Bunu zamanında ünlü matematikçi Wigner söylemiş: The unreasonable effectiveness of mathematics…

Matematikle ilgili çok temel bir sorunun bağlamında söylemiş bu sözü:

Matematik insan aklının ürünü bir icat mı yoksa biz zaten orada duran ve ismi Matematik olan bir gerçekliği zamanla keşif mi ediyoruz?!

Evet gündemi çok yakından ilgilendiren bir konu ile karşınızdayım gördüğünüz gibi :)…

Aslında dolaylı yoldan da olsa gündemi eğitim bağlamında ilgilendiriyor.

Şöyle ki; çok küçük yaştan itibaren matematik eğitimi alan ve daha aldığı ilk dakikadan itibaren ‘Bu benim ne işime yarayacak?’ sorusunu soran çocuklara ilk anlatılması gereken aslında bu yazının konusu olan mevzular olmalı.

Haklı olarak öğreneceği şeyin ne işine yarayacağını merak eden çocuk belli gerçeklerin daha en başta farkına vardığında öğreneceği her şeyi tamamen farklı bir bağlamda değerlendirecektir.

Şimdi bakalım, hiç araştırmadan sadece şu an aklıma ilk gelenleri yazsam şunlar var;

  • Fibonacci sayı dizisi tamamen tavşanların üreme örgüsünden çıkmış, sonra doğanın her tarafında; çiçekli bitkilerin yaprak sayılarının, galaksilerdeki spirallerin vs. bu diziyi takip ettiği gözlenmiştir…
  • Grup Teorisi ve simetriler (ve simetri grupları) kuantum kuramından neredeyse yüz yıl önce matematikçilerin tamamen soyut olarak geliştirdikleri bir kavramken şu an doğadaki mevcut tüm parçacıkların bir simetri grubunun elemanları olduğunu görüyoruz. Hatta öyle ki, bu simetri grubunun keşfedilmemiş elemanları geçmişte bazı parçacıkların varlığını fiziksel deneylerden önce işaret etmiştir…
  • Einstein’ın Genel Görelilik kuramı, evreni Riemann geometrisi üzerinde açıklar. Riemann bu geometriyi Einstein’dan çok uzun zaman önce pratikte bir işe yarayıp yaramadığını bilmeden bulmuştur…
  • Genel Göreliliğin temel denklemi Einstein denkleminin çeşitli metriklerdeki çözümlerinin bazı tekil noktalar içerdiği bundan 60-70 yıl önce bulunmuş matematiksel çalışmalardır. Artık bu tekilliklere karadelik diyoruz…
  • Knot Theory (Türkçesi var mı emin değilim; Düğüm Teorisi), DNA sarmalının kendi içindeki karmaşık düğüm yapısının anlaşılmasını sağlamıştır…
  • Topolojinin yeni materyaller ve nanoteknolojideki önemi…
  • Algebraic Geometry’nin String Theory içindeki yeri…

İnsana matematiğin zaten orada duran bir gerçeklikler bütünü olduğu ve bu gerçekliklerin doğadaki anlamının biz keşfettikçe ortaya çıktığını düşündürüyor…

Mevzuya en başından bu şekilde bakmayı öğrenen çocuğun tüm bakış açısı değişmez mi? Değişir!..

Tabi tüm bu mevzunun getirdiği başka sorular var;

Matematiği formüle ediş biçimimiz, temel kavramlarımız bambaşka olabilir mi?!

Bunu da ilerledikçe öğreniyoruz. Şu an dünyanın bir çok yerinde sayısı oldukça az olan ve doğal olarak yaptıkları işi bazı durumlarda sadece bir kaç yüz kişinin anlayabildiği işler yapan insanlar var. Yaptıkları işin fiziksel bağlamı konusunda şu an bir fikrimiz yok diye yaptıkları işin soyutluğunu sorgulamak tamamen ilkelliktir…

Bunun aynı zamanda medeniyetin ciddi bir barometresi olduğunu düşünüyorum;

Bilimsel çalışmalardan hep somut çıkarım beklemek bir toplumun geri kalmışlığının ciddi bir barometresi olabilir…

Meraklısı için; şu an ‘gereksiz’ görülen çıkarımların ileride ne kadar önemli olabileceğine dair çok kült bir makale mevcut:

Konuya geri dönecek olursak;

Evet matematikte bir çok şey, temel kavramlardan sonra insanların çıkarımı şeklinde üretilmiş yani icat edilmiştir. Ancak temel kavramların kendisinin zaten orada olan gerçeklikler olduğunu düşünüyorum…

Pi sayısı, Asal sayılar ve daha bir çok basit görünümlü matematiksel yapı bizim elimizle kurduğumuz yapılar değil, oradalar.

Doğayı irdeledikçe görüyoruz ki geçmişte ne işe yaradığını bilmediğimiz matematiksel yapılar kendilerine bir yerde anlam buluyorlar.

Plato’ya kadar uzanan daha da felsefik bir tartışma için (ben o kadar derin değilim…) aşağıdaki şu videoyu başlangıç için tavsiye ederim:

 

 

 

İnternetin geleceği hakkında karalamalar…

Özellikle son yıllarda artan şekilde bir şikayet görüyorsunuzdur etrafınızda… Neyle mi ilgili? Çok çeşitli konularda yaşanıp haberlere dahi konu olan her alandaki cehaletten. Aslında kullanmak istediğim kelime cehalet değil, tam olarak ‘ignorance’… Yani içinde biraz umursamazlık, bilip de görmemeyi tercih etme, hiç bilmemeyi tercih etme vs. bir çok kavram var.

Meşhur “Ignorance is bliss” lafının tam karşılığının da o yüzden “cehalet mutluluktur” olduğunu düşünmüyorum… İnsanlar çok çeşitli sebeplerle bazen bilinçli olarak tercih ediyorlar “ignorant” olmayı. Ve bunun psikolojisi, yol açan sebepler vs. tamamen ayrı bir yazı konusu.

Diyeceğim o ki mevzu sadece Türkiye’ye özgü değil…

Okumaya devam et

10 adımda akademik hayat

İlkokul, lise, lisans, yüksek lisans ve doktora… Eğitim merdiveninin beş basamağı. Normal bir yaşama kavuşmak için ilk üçü yani ilkokul, lise ve lisans artık psikolojik bariyer zaten.

Hatta herkesin o ya da bu şekilde master’lı olduğunu düşünürsek, master yapmak da günümüzde bu psikolojik sınırın içine giriyor. Daha 50 yıl önce herkesin ilkokul mezunu olması önemli bir amaçken artık günümüzde yüksek lisans yapmamış olmak eksiklik sebebi haline gelmiş durumda. Eğitim merdiveninin son basamağı, doktora ise kendini diğerlerinden ayırmış durumda! Çünkü ilkokulu bitir; liseyi, lisansı hatta yüksek lisansı bitir… Yaptığın şey sadece daha fazla öğrenmek.

Doktora yapınca ise artık bilim insanısın!

Üniversiteye girme aşamasında tercihlerini belirleme durumunda olan, üniversiteyi bitirip de kendini iş bulma cenderesinin içinde bulan dünya kadar genç insanın kafasından en az bir kez “Akademik hayata gireyim de kendimi garanti altına alayım” düşüncesi geçmiştir.

Durun gençler! Kapalı bir kutu olan, hakkında pek bir şey bilmediğiniz doktora yaşamını size çok sevdiğim şu yazıdan (http://www.businessinsider.com/the-illustrated-guide-to-a-phd-2012-3) alıntılayarak basitçe anlatmaya çalışayım**, kararınızı sonra verin:

1. İnsanoğlunun günümüze dek eriştiği bilgi seviyesini temsil eden bir daire düşünün:
aka1.png
2. İlkokulu bitirdiğinizde çok temel ancak çok da az şey biliyorsunuzdur:
aka2
3. Liseyi bitirdiğinizde biraz daha fazla şey biliyor olursunuz:
aka3.png
4. Üniversiteye girip lisans eğitimini bitirdiğinizde artık bir alanda özelleşirsiniz:
aka4
5. Yüksek lisans yapıp özelleştiğiniz alanda biraz daha derine inersiniz:
aka5
6. Bilimsel makaleler okumaya başlarsanız özelleştiğiniz alandaki bilgi seviyesinin en uç noktasına kadar ilerlersiniz:
aka6
7. Sınıra geldiğinizde artık odaklanmaya başlarsınız:
aka7
8. Yıllarınızı sınırı itmekle geçirirsiniz:
aka8
9. Ta ki sınırda ufak bir çıkıntı oluşturana dek:

aka9

İşte sınırdaki bu çıkıntıya ‘doktora’ deniyor!

10. Hâlâ odaklı olduğunuz için kendinizi farklı bir dünyada gibi hissedebilirsiniz ancak geriye çekilip büyük resme tekrar bakarsak:

aka10.png

Burası kırılma noktasıdır.Yaptığınız bu çalışmaya bakıp da insanoğlunun eriştiği sınıra kıyasla ne kadar ufak bir iş olduğunu gördüğünüzde, bu ufacık işi yapmak için hayatınızı verdiğinizi fark ettiğinizde, insanoğlunun geldiği sınırı genişletmenize rağmen halen kimse size para vermediğinde (!) ve en önemlisi de alabildiğine geniş bir dairenin sınırındaki ufacık bir noktaya odaklandığınızı anladığınızda… “Moralim bozulmaz” diyorsanız doktora yapmayı düşünmeye başlayabilirsiniz.

Hayatta nereye yöneleceğinize dair tercihleriniz dairelerle açıklanacak kadar basit aslında:

Ya dairenin içinde bir çok yöne doğru genişleyecek ancak hiçbir yönde sınıra ulaşmak gibi bir derdin olmayacak ya da kendine tek bir yön seçip o yönde sınırları zorlamak için uğraşacaksın.

Tercih bu kadar basit.

Not: Bu yazı Ocak 2014’te Radikal’deki köşemde yayınlanmıştır

http://www.radikal.com.tr/hayat/10-adimda-akademik-hayat-1171541/

** Anlaşılan onlar da şuradan almış: http://matt.might.net/articles/phd-school-in-pictures/