Doğanın Geometrisi (2) – Fraktallar

Geçenlerde ‘Doğanın Geometrisi ve Minimal Yüzeyler‘ üzerine yazdığım yazının hem öncesinde ve hem de sonrasında altın oran ve fraktallarla ilgili de bazı istekler olmuştu…

Bugün tesadüfen izlediğim bir video ile bu fraktallar ve altın oran konusunu birleştiren ufak not şeklinde bir şeyler karalamak istedim.

Fraktallar aslında ta 17. yüzyıldaki matematiksel çalışmalarda karşımıza çıkmasına rağmen, ‘Fraktal’ terimini ortaya koyup teorisini de netleştiren çalışmaları yapan kişi, 1980’lerde Mandelbrot isminde bir matematikçi.

……..

Bugün ilk defa Mandelbrot Kümesi denilen fraktal yapı ile karşılaşıp etkilendiğim için hakkında bir şeyler yazmak istedim.

Maldelbrot kümesinin tanımı şu:

{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c} ; c bir kompleks sayı olmak üzere z=0 noktasından iterasyonu yapıldığında sonsuza gitmeyen her c sayısı Mandelbrot kümesinin içinde oluyor.

Basit bir örnek ile; c=-1 ise; f(0) = -1… Bir iterasyon sonra f(-1)=0; İkinci iterasyon f(0)=-1 vs. görüyoruz ki sonsuza gitmiyor…

Bu koşulu sağlayan kümenin kompleks düzlemdeki grafiği şöyle oluşmakta:

fr1.pngfr2.png

Şimdi bu yapının kendisine zoom yapıldığında göreceğiz ki:

 

fr3fr4fr5.png

Aynı yapı kendini tekrar ediyor. Bu zaten fraktalların matematiksel tanımı gibi; Kendi içinde birbirini tekrar eden geometrik yapılar.

……

Mandelbrot kümesinin oluşturduğu şekle bakınca ilginç bir durum gözlemek mümkün:

Dikkatli bakıldığında her yuvarlak bölümün üzerinde bazı dallanmalar olduğunu görmek mümkün. Büyük yuvarlaktan başlanarak sayıldığında, her bir şeklinde üzerindeki dallanma Fibonacci serisindeki sayıları veriyor!

fr6.png

Fibonacci Serisi de bilindiği gibi Altın Oran ile doğrudan alakalı olan sayı dizisi.

…..

Doğada da pek çok yerde buna benzer fraktal yapıların oluştuğunu gözlemek mümkün:

 

Brokoliden yüksek voltaj verilmiş cama; yaprakların yapılarından hava kabarcıklarına kadar…

Önceki ‘doğanın geometrisi’ yazısında doğada bazı şekillerin oluşmasının fiziksel bir optimizasyon gereği olabileceğinden bahsetmiştik… Bu fraktalların oluşmasının ve doğanın hemen her yerinde gözlenmesinin sebebininde benzer olduğunu düşünmekle beraber zannediyorum bu başlı başına bir yazı konusu.

Yine de Fibonacci dizisinin bu denli sık karşımıza çıkmasının temel sebebi beni oldukça meraklandırıyor…

…….

Benim de yeni yeni  öğrenmeye başladığım bu yapılar hakkında biraz daha detaylı matematik için:

 

 

Reklamlar

Doğanın Geometrisi – Minimal Yüzeyler

Doğanın geometrisi denilince genelde akla ilk gelen matematiksel kavram Altın Oran oluyor. Altın Oran konusunda ilgimi çeken şey, bu yazının konusundan farklı olarak, hangi nedensellikle doğada gördüğümüz konusunda az bir fikrimiz olması. O yüzden gerçek olduğu kadar spekülasyona da oldukça açık bir konu…

Bu yazıda ise doğadaki matematiğin bir başka yüzünü inceleyeceğiz.

Konumuz, Minimal Yüzeyler…

Öncelikle matematiksel olarak minimal yüzey dediğimiz kavramı şöyle tanımlanıyoruz;

Minimal yüzey; bize verilen tanımlı bir boşluğu doldurabileceğimiz ‘en küçük alana sahip’ yüzey…

Basit bir örnek olarak, diyelim 1000 metreküplük bir hacmi kapsayacak bir yapı inşa edeceğiz… Olası sonsuz geometrik cisim arasında yüzey alanı en küçük olan obje Küre çıkacaktır:

ms1.png

İşin ilginç yanı doğadaki yapılara baktığımızda da bu prensibi görüyoruz!..

Minimal yüzeylerin bir kaç şekilde ortaya çıktığını gözlemek mümkün:

  • Hayvanların inşa ettikleri yapılarda
  • Çeşitli bitki ve hayvan anatomilerinde
  • Kendiliğinden oluşan bazı doğa yapılarında

Bu üçüne de örnek vereceğim ancak önce bu kategorilere ayırmak istedim ki doğanın farklı nedenselliklerle aynı sonuca ulaşmadaki çeşitliliğini daha iyi anlayalım.

En çok ilgimi çeken örnekle başlayacağım:

Arıların peteklerinin neden altıgen olduğu konusunda bir fikriniz var mı?

Şöyle ki; iki boyutlu bir yüzeyi geometrik objelere bölmenin sonsuz yöntemi var.

ms2.pngms3

Üstelik arıların iki önemli amacı daha var:

  • Yüzeyi hiç boşluk bırakmadan bölmek; yani aslında çember (aynı yukarıdaki örnekte kürede olduğu gibi) aynı birim alana sahip en düşük alanlı geometrik obje olmasına rağmen, yan yana çemberler konulduğunda boş kalacak alanlar yüzünden verimli bir obje değil.

ms4

  • Arılar ayrıca, daha az iş çıkarmak ve materyal harcamak için çevre uzunluğu/alan oranı en az olan objeyi seçmek isteyeceklerdir.

Ve işin ilginç tarafı, altıgen hem yüzeyi boşluk bırakmadan bölmek için uygun hem de belirli bir alanı çevre/alan oranını en düşükte tutacak şekilde parçalayabilen minimal bir yüzey.

Üstelik bu gerçek, yani olası sonsuz geometrik şekil arasından altıgenin en uygun minimal yüzey olduğu ancak 1999’da tam olarak ispatlanmış!..

Peki arılar bunu nereden biliyor?!

Burada olası iki açıklama var:

  • Arılar çok yüksek ihtimalle petekleri örmeye altıgenlerle başlamadı… En verimli üretim yapan arı grubunun hayatta kaldığı bir evrimsel sürecin yaşanmasının ardından altıgen şekline gelindi. Ve sonunda ulaşılan bu bilgi de genetik olarak nesilden nesile aktarıldı.

 

  • İkinci bir açıklama; doğrudan fiziksel bir sürecin dayatması yüzünden olabileceği… Yazının başında minimal yüzeylerin bazen kendiliğinden oluşan doğal yapılarda da gözlenebileceğini belirtmiştim.

Örneğin hava kabarcıkları, köpükler vb. objeler neden küre şeklinde hiç düşündünüz mü? Çünkü kabarcığın içindeki havanın yüzeyde yarattığı basıncı en iyi dengeleyen; yüzey basıncını minimuma indiren şekil bu da o yüzden. Bir kabarcığın küre şeklinde oluşmasının prensibinde minimal yüzey prensibi var.

Diyeceksiniz ki bunun arıların petekleriyle ne ilgisi var?!

Şunu izleyin:

ms6.gif

Görüyoruz ki, hava kabarcıkları bile yan yana paketlenmeye çalıştıklarında altıgen düzenine geçiyorlar:

Bu sadece yüzey alanını minimize ettiği için değil, fiziksel olarak dayanıklılığı koruyan en güçlü yapı olduğu için!..

Dolayısıyla ikinci yaklaşım; arıların aslında peteklerini daireler şeklinde ördüğü ancak hem ısı sebebiyle erime hem de yüzey kuvvetleri sebebiyle bu dairelerin doğal olarak altıgene dönüşmesi sonucu arılarda bu bilginin genetik olarak kaldığı…

…..

Ve çok yüksek ihtimalle ikinci açıklama doğru.

Doğa bir şekilde fiziksel olarak en verimli yapıyı, en düşük enerjiye sahip yani stabil yapıyı seçiyor ve bu bilgi evrimsel olarak hayvanların genetik kodlarına işlenip sonraki kuşaklara aktarılıyor.

Bu durum hayvanların anatomilerinde dahi mevcut.

Sineklerin panaromik görüşünü sağlayan gözlerindeki yapıya dikkatli bakın… Altıgenleri göreceksiniz:

ms7.png

……..

Kuraklıktan veya fay hatlarından dolayı meydana gelen yüzey çatlamalarında en yüksek enerjiyi dışarıya verip en stabil konuma geçmek için toprağın altıgen şeklinde çatlamasından…

ms8.png

Lav tabakalarının soğuduktan sonra oluşturdukları kayaların en stabil olmak için seçtiği altıgen şekillere kadar…

ms9.png

Doğa, oluşturduğu yapılarda bir şekilde en düşük enerjili ve stabil pozisyona geçmenin yolunu buluyor… ve kimi zaman bu bilgi hayvanların genetik kodlarına aktarılıp sonraki nesillere de geçebiliyor (Çok soğuk havalarda içgüdüsel olarak kıvrılıp yüzey alanımızı küçültmeye çalışmamızı dahi bu argumana dahil edebilirsiniz)…

Kim bilir belki de minimum aksiyonlu/stabil hayat arayışımız aslında evrimseldir!..

Ancak her ne sebeple olursa olsun… Doğanın stabilite arayışını anlamak için elimizdeki tek aracın matematik olduğu da net… Matematik açıkça doğanın bizimle konuşma şekli.

ve Türkiye’de eğitimciler hala matematiğin neden gerekli olduğunu sorguluyor !:)..

……..

Not: Çok daha karmaşık minimal yüzeylerin doğada çok daha ilginç yerlerde; kelebeklerin kanat yapılarında; genel olarak hücrelerin yapılarında vb. çıktığını görmek mümkün. Ancak o yapılarında oluşma şeklinin bağlamı yine bu yazıda anlattığımız argumanlar olduğu için daha da detaya girmek istemedim.

Bu arada Altın Oran ve fraktalcı arkadaşlarımız için ayrı bir yazı düşünüyorum:).. Bahsetseydim bu yazının bağlamına uymaz veya gereksiz uzatırdı.

 

 

 

Einstein Özel-Genel Görelilik Kuramları Yazı Dizisi

Bu yazıda Görelilik üzerine yazdığım tüm yazıları birleştiriyorum… Yer yer ilginç şeyler bulduğumda tek bir yazı üzerinden güncellemeler yapmak niyetim.

Keyifli okumalar.


 

Özel Relativite… Özel Görelilik.

Önce isminden başlayalım; Nedir bu Relativiteyi özel kılan diye aklına gelenler vardır.

Aslında, ismi ‘Özel’ Relativite çünkü yine Einstein’ın geliştirdiği Genel Relativite’nin özel bir durumunu temsil eden bir kuram.

Nedir o özel durum?

Cisimlerin hareket etmediği ya da sabit hızla hareket ettiği durumları inceliyor bu kuram… Yani ivmelenme 0 (sıfır).

Okumaya devam et

Stres-Enerji Tensörü / Genel Görelilik Kuramı Son Bölüm

Genel Görelilik Kuramını anlamak üzerine 4. yazımız ile devam ediyoruz.

Öncesinde;

Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Einstein Alan Denklemini oluşturan parçaları tek tek incelemeye başlayıp Metrik Tensörü ele almıştık:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/06/tensor-ve-metrik-tensor-nedir/

Ve son yazıda Einstein Alan Denklemini oluşturan parçalardan Ricci Tensörü ve sabitini öğrendik. Bununla beraber de denklemin sol tarafındaki terimlerin tamamını incelemiş olduk:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/09/ricci-tensoru-ve-sabiti-nedir/

…….

Bu yazıda Einstein Alan Denkleminin sağ tarafındaki terimi; Stress-Enerji Tensörünü inceleyeceğiz:

GR21

Önceki yazıda da belirttiğim gibi denklemin sol tarafındaki terimlerin tamamı uzayın geometrisi üzerine ve sağ tarafta da tamamen fiziksel bir terim mevcut.

Gelin inceleyelim:

Bir kağıda iki nokta çizsem, aralarındaki en kısa mesafeyi veren rota nedir? Herkesin bildiği gibi, bu iki noktayı birleştiren ‘doğru’dur.

Peki diyelim bu iki nokta bir kürenin ya da hiç aşina olmadığımız başka bir yapının üzerinde… O zaman bu iki noktanın arasındaki en kısa mesafeyi veren rotayı nasıl buluruz?

gr57.png

Not: Hatırlayalım ki Christoffel sembolü dediğimiz kavram; Türevin farklı geometrilerdeki/uzaylardaki karşılığında gelen ekstra düzeltme terimiydi ve şimdi kuvvet ile doğrudan eşit olduğunu bulduk. Peki türev neyi hesaplıyordu; ~yüzeyin eğimini.  Yani bir anlamda;

Herhangi bir geometrideki eğim hesabının normal kartezyen uzaya göre olandan farklı/ekstra kısmını veren terim (Christoffel Sembolü) aslında ~kuvvet terimiymiş. Bir anlamda geometrinin getirdiği yüzey gerilimi gibi düşünülebilir.

O halde şimdi Christoffel Sembolünün açık halini hatırlayalım:

gr58

Şimdi, varsayalım ki elimizde tamamen yavaş hareketleri incelediğimiz durumlar var. Bu durumda biliyoruz ki Genel Görelilik, bildiğimiz Newton mekaniğine yaklaşıyor. Yine biliyoruz ki metrik tensör, g terimi,  sabite (1) dönüşüyor. Dolayısıyla g’nin tek önemli terimi, zaman terimi olacak… Buradan;

gr60

Bu aşamada matematikteki önemli teoremlerden birine ihtiyacımız olacak (divergence theorem):

Herhangi bir vektörün( kuvvet gibi) bir yüzey alanındaki toplam değeri, o vektörün türevinin kapalı yüzeyin hacminin içindeki toplam değerine eşittir. Bir başka deyişle:

GR61.png

gr62

…..

Evet şu an Einstein denkleminin sağ tarafını; yani Stress-Enerji tensörü kısmını da bitirmiş durumdayız.

Kimilerinin fazla matematik kullanmışsın, bilenlerin de matematiği parçalamışsın diyebileceği şekilde Einstein Alan Denklemini çıkarmış bulunuyoruz.

…..

Bu noktaya gelene dek geçtiğimiz tüm kilometre taşları şimdi tek tek anlam kazanıyor:

  • Önce en basit kavramla başladık; normal uzaydan farklı bir uzayda geometrinin nasıl tanımlandığını inceledik. Gördük ki eskiye göre bazı kalibrasyonlar oluyor ve bunu ‘metrik tensör’ dediğimiz araç yapıyor.
  • Sonra farklı bir uzayda ‘türev’ yani yüzeyin anlık eğiminin, bildiğimiz uzaya göre nasıl değiştiğini araştırdık. Gördük ki eskiye göre bazı kalibrasyonlar oluyor ve bunu ‘Christoffel sembolü’ dediğimiz araç yapıyor.
  • Sonra farklı bir uzayın genel olarak eğriliğini nasıl buluruz diye araştırdık. Gördük ki Ricci tensörü; bir vektörü bir yüzey üzerinde paralel taşıdığımızda ne kadar değiştiğini veren araç. Yani bir anlamda eğriliğin ölçüsü.
  • Sonra keşfettik ki aslında Christoffel sembolü; yüzeyin anlık eğimine gelen kalibrasyon olduğu gibi aynı zaman yüzeyin üzerindeki kuvvetle de doğrudan orantılı (mantıklı)
  • Sonra kapalı bir yüzeyin üzerindeki toplam kuvveti hesapladık (yada bir hacmin içindeki toplam potansiyeli) ve gördük ki enerjinin korunumu yasası bize Ricci tensörü ile ilişkili bir eşitlik veriyor. Bunu bir anlamda bir yüzeyin üzerinde bir kuvvetin yaptığı toplam işin, o yüzeyde paralel taşınmış bir vektörün ne kadar farklılaştığını hesaplayan Ricci tensörü ile bağlantısı şeklinde düşünebilirsiniz.

Evet görüldüğü gibi kütle çekimi kavramını tamamen uzayı geometrisi ile açıklayan Einstein alan denklemini daha anlamışızdır umarım.

…..

Buradan sonra gidilebilecek en bariz yol bu denklemin çeşitli geometrilerde (yani farklı metrik tensörler için) çözümlerini bulmak… Göreceğiz ki kara delik dediğimiz yapılar bu farklı metriklerin tanımsız olduğu (matematiksel olarak sonsuz veren koordinatlar) yerlerde ortaya çıkacak.

Ancak kara delikler tabii ki başlı başına ayrı bir yazı konusu.

…..

Evet bu uzun ve yorucu serinin sonuna gelmiş bulunuyoruz!.. Sonunda 🙂

Bu seriyi oluşturan tüm yazıları birleştirip devasa bir Özel-Genel Görelilik yazısı oluşturacağım. Ve arada ilgi çekici şeyler gördüğümde de yeni şeyler ekleyip güncelleyeceğim.

Umarım meraklılar için faydalı olmuştur.

 

 

 

Ricci Tensorü ve Sabiti Nedir?!

Genel Görelilik Kuramını anlamak üzerine 3. yazımız ile devam ediyoruz.

Öncesinde;

Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Ve son yazıda Einstein Alan Denklemini oluşturan parçaları tek tek incelemeye başlayıp Metrik Tensörü ele almıştık:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/06/tensor-ve-metrik-tensor-nedir/

……..

Bu yazıda, Einstein Denkleminin bir diğer parçası olan Ricci Tensörü ve Eğim Sabitini (curvature scalar) inceleyeceğiz:

gr46

(Not: Detaya girmeden önce son paragrafları önce okuyup sonra da buraya geri dönebilirsiniz.)

Öncelikle tensörler hakkında genel bir bilgi ile başlayalım;

Herhangi bir W ve V tensörleri eğer bir x-koordinat sisteminde eşitse

gr47.png

Her koordinat sisteminde eşittir.

Yalnız aynı şey tensörlerin türevleri için geçerli değil; çünkü türev dediğimiz kavram yani incelediğimiz fonksiyonun belirli bir noktaki eğitimi, farklı koordinat sistemlerinde farklı olabilir.

GR48

Matematiksel hesapları atlayarak (bir önceki yazıdakine çok benzer yöntemlerle) farklı bir koordinat sistemine geçildiğinde bir tensörün türevi şöyle değişiyor:

gr49.png

Özetle bir tensörü bir koordinat sistemindeki türevi, başka bir koordinatta Christoffel Sembolü kadar bir düzeltmeye uğruyor diyebiliriz.

Özetle bir tensörün türevinin genel tanımı (genel türevi/covaryant türevi ∇ notasyonu ile gösteriyoruz):

gr50.png  (1)

Şimdi diyeceksiniz ki ‘Neden bu acıları çekiyoruz?!’…

Hemen açıklayayım:

i) Önceki yazıda metrik tensörü,

gr26 öğrenmiştik… Metrik tensör özetle; bir uzayın, kartezyen koordinatlara göre farkının (ya da ne kadar kalibre olduğunun) bilgisini veren tensördü… Kısaca, içinde bulunduğumuz uzayın geometrisini tanımlayan tensör.

ii) Az önce bir tensörün türevini hesaplamanın formülünü bulduk… Yani bir anlamda bir tensörün, tanımlandığı uzaydaki eğimini hesap edebiliriz.

O halde neden bunu metrik tensör için yapmayalım?!

Ve madem metrik tensör bize uzayın geometrisini tanımlayan tensör, bunun türevini bulmamız demek; içinde bulunduğumuz uzayın eğimi/eğriliği hakkında bize bilgi veren bir sonuç elde etmemiz demek.

………..

Denklem (1)’i kullanarak:

gr51.png (2)

Görüleceği gibi bu denklemden Christoffel Sembollerini hesaplayabiliriz (uzun iş)…

– Niye bu kadar taktın bu Christoffel Sembollerine, Einstein denkleminde geçmiyor bile?! diyeceksiniz…

Hemen şimdi anlatacağım sebepten,

…….

Bir kürenin üzerindeki üçgende bir vektör düşünün ve bu vektörü bu üçgen üzerinde kendisine paralel şekilde ilerletin:

gr52.png

Şekilden de görüldüğü gibi vektör başladığı halinden farklı bir yönde geri geliyor…

Büyüklüğü aynı ancak oryantasyonu farklı.

Örneğin bunun aynını küre üzerinde değil de bildiğimiz düz dikdörtgende yapsak, vektörün ne yönü ne boyutu değişir.

İşte bu ‘paralel taşıma’ dediğimiz işlemi yaptığımızda bir vektör aynı da kalabilir farklı da olabilir.

Bu iki vektör arasındaki farkı incelediğimizde, bu farka dV diye tanımlarsak (matematiksel detayı atlayarak)

gr54

Yani, Ricci Tensörü dediğimiz şey aslında bir anlamda; içinde bulunduğu uzayda/geometride bir vektörü paralel taşıdığımızda her noktada uğradığı değişimin, normal Kartezyen Koordinattaki durumdan farkını veren araç…

…….

Şimdi geldiğimiz noktayı özetleyelim:

  1. Önceki yazıda metrik tensörün, bir uzayın, kartezyen koordinatlara göre farkının (ya da ne kadar kalibre olduğunun) bilgisini veren tensör olduğunu öğrendik. Kısaca, içinde bulunduğumuz uzayın geometrisini tanımlayan tensör.
  2. Bu yazıda; farklı koordinatlarda bir tensörün türevinin kalibre olduğunu, bunun da ölçüsünün Christoffel sembolleri ile verildiğini gördük.
  3. Yine bu yazıda; bazı geometrilerde bir vektörün paralel taşıdığınızda aynı şekilde geriye dönmeyeceğini; bu taşıma işleminin bildiğimiz kartezyen koordinatlara göre farklılığının ölçüsünün de Ricci Tensörü tarafından belirlendiğini gördük.
  4.  Einstein denkleminde R şeklinde geçen ve eğim sabiti olarak adlandırılan sabit de tamamen bu Ricci tensöründen çıkarılan bir sabit. R=0 ise uzayımız eğimi olmayan Öklid uzayı. R sıfırdan farklıysa uzayımız eğimli.

Konuyu basitçe açıklayan bir video için:

 

……

Dikkat ederseniz oldukça ilerledik ve Einstein denkleminin sol tarafındaki sembollerin tamamının anlamını öğrendik;

GR21

Ve yine tüm bunlardan ortaya çıkan ilginç bir nokta daha var;

  • Şimdiye dek öğrendiğimiz her şey uzayın geometrisi ile ilgili bilgi veren matematiksel araçlardı. Denklemin sol tarafına bir bakalım; Ricci tensörü, Ricci sabiti ve metrik tensörden oluşuyor… Yani denklemin sol tarafı tamamen içinde bulunduğumuz uzayın geometrisi ile ilgili. Bir sonraki yazıda sağ tarafı incelediğimizde göreceğiz ki orada da geometriye dair hiç bir şey yok… Sağ tarafta Stress-Enerji tensörü sol tarafta uzayın geometrisi!..

İşte kütleçekiminin uzayın geometrisinden ileri gelen, öyle tanımlanan bir kavram olduğu gözlemi tam olarak Einstein denklemlerinin bu yapısından ileri gelmekte.

  • Üstelik hangi geometri olduğunu da empose etmiyor. Yani bu denklemin çok farklı boyuttaki veya özellikteki uzaylarda/geometrilerde çok ilginç çözümleri mümkün…

Bu da bizi 1-2 yazı sonra karadeliklere götürecek.

…..

Evet yolun yarısını geçmiş bulunuyoruz. Sonraki yazıda denklemin geri kalanını da bitirip çıkarımını yapacağız.

 

 

 

 

 

 

Tensor ve Metrik Tensor Nedir?!

Bu yazı, takip edenlerin de bildiği üzere Einstein’ın Görelilik kuramları serisinin 3. yazısı.

Önce Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Sonra Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Bu yazıda Einstein Alan Denklemini anlamamız ve hatta çıkarmamız için gerekli olan matematiksel araçlardan birini tanıyacağız: Tensörler…

Sonda söyleyeceğimi başta söyleyeyim (ki belirli bir algı en başta oluşsun);

‘Skalar’ kavramı ile başlayalım… Skalar dediğimiz şey basitçe herhangi bir fiziksel ölçümün değeri olarak düşünülebilir; 50 Kg, 90 km/saat, 30 Celcius vb…

Herhangi bir yön unsuru içermez; sadece nicelik simgeler; Skalar.

‘Vektör’ kavramı ile devam edelim… Vektör dediğimiz şey de hem bir nicelik hem de yön ifade eden kavramlar olarak düşünülebilir; Hız dediğimiz şey hem ‘sürat’ (90km/saat) hem de yön bilgisi içerir… 90 km/saat ile doğuya; benzer şekilde ivme, kuvvet vb…

Hem yön hem nicelik simgeler; Vektör.

Birazdan anlatacağım Tensörleri, bu gidişatın en genel hali olarak düşünebilirsiniz:

Skalar 0. dereceden; Vektör 1. dereceden Tensördür…

Örneğin 2. dereceden bir Tensör olarak

GR24  μ,ν = x,y,z

Bu tensörü 3 boyutlu herhangi bir cismin her yüzeyine uygulanan kuvveti temsil eden total bir gösterim olarak düşünebiliriz:

GR23.png

Örneğin Txy; x-y düzlemine etkiyen; Tzx; z-x düzlemine etkiyen kuvveti temsil eden değerlerdir… Hepsini total olarak bir matrix’te göstermek de mümkün;

gr25.png

Göreceğiniz üzere; bunu daha yüksek boyutlara da taşımak mümkün; 3. dereceden, 5. dereceden tensörler vb…

Şimdi Einstein’ın alan denklemlerindeki notasyona umarım biraz daha aşinayız:

GR21

Bakın burada her şey 2. dereden Tensörler cinsinden… Hepsinin az önceki örnekte, bir cismin içinde her yöne etki eden kuvvetlerin temsiline benzer şekilde bir anlamı var…

Öncelikle inceleyeceğimiz tensör; Metrik Tensör:

gr26

Nedir bu Metrik Tensör dediğimiz şey?!

Şimdi gelin en basit mevzudan başlayalım;

Bir x-y düzleminde bir vektörün boyutunu bulalım;

GR27.png

V’nin büyüklüğünü hepimizin bildiği Pisagor bağıntısından bulmak mümkün:

gr28.png

Şimdi; benzerini çok küçük bir vektör için hesaplayalım. Bu tarz küçük büyüklükleri göstermek için türev notasyonu  kullanıyoruz: ds vektörü diyelim…

ds adını vereceğimiz küçük vektör, yukarıdaki büyüğüne benzer şekilde hem x yönünde hem de y yönünde küçük değişimlerin toplamı olacaktır.

x yönündeki ufak değişim dx; y yönündeki ufak değişim dy olarak adlandırılacak doğal olarak…

Şimdi basit olarak

gr32.png

ve

gr36

Dolayısıyla herhangi bir büyüklüğün; ismi ∅ olsun, s vektörü yönündeki değişimini incelemek demek; ∅’nin hem x hem de y yönündeki değişimlerini inceleyip toplamak demek:

Yani;

gr35

Yaptığımız iş her yöndeki değişimi alıp toplamaktan öte bir şey değil…

Şimdi benzer şekilde;

gr37.png

…….

Şimdi kritik kısımlardan birine geldik; x- koordinat sisteminden farklı bir y- koordinat sistemine geçtiğimizi düşünelim (aşağıdaki durumun sadece 2 boyutta değil n boyutta olanını düşünün)

gr39.png

Bu durumda

gr41.png

Yani, baştan beri metrik tensör dediğimiz şey aşağıdaki ifade;

gr42.png

…….

Şimdi yorumlayalım;

Normal bir Kartezyen koordinat sisteminde bir vektörün büyüklüğünü hesaplayarak başladık. Sonra eğer bir koordinat değişimi yaparsak bu vektörün büyüklüğünü veren denklemde ‘metrik tensör’ ifadesi gibi bir değişim faktörü olduğunu bulduk.

Buradan çıkarılacak sonuç şudur;

Eğer koordinat değişimini yine benzer bir kartezyen sisteme yapıyorsak sorun yok; bir vektörün büyüklüğünün hesabı değişmiyor.

Ancaaak, örneğin bu vektörün büyüklüğünü bir kürenin üzerinde hesaplamak istiyorsak o zaman ‘metrik tensör’ kadar bir kalibrasyon oluyor.

Özetle; metrik tensör dediğimiz kavram içinde bulunduğumuz uzayın geometrisinin, normal kartezyen koordinat sisteminden/Öklid uzayından ne kadar farkı var ve ne kadar kalibre olmuş, bize onu söylüyor.

gr43.gif

………….

Evet şu an Einstein Alan denklemlerini anlamaya bir adım daha yaklaştık…

Metrik Tensör, kavramı oldukça önemli. Farklı uzayların yapısını tek bir ifadede özetleyen bir araç farkındaysanız ve birini diğerine göre kıyaslama imkanı da veriyor.

Fizikçilerin evreni doğru modelleyen kuramlar arayışındaki en temel noktalardan biri de, modeli doğru bir geometride (yani doğru bir metrikte) tanımlamak. O yüzden şu an çok temel bir kavramı öğrenmiş durumdayız.

Bir geometriyi tanımlayan Metrik ne bildiğimiz zaman, örneğin o geometrinin eğimi dahil bir çok özelliğini bulmamız kolaylaşacak… Bu da bizi sonraki yazının konularına götürecek.

 

 

 

 

Nedir bu Genel Görelilik?! – Başlangıç

Bir önceki yazıda Einstein’ın 1905’te ortaya koyduğu Özel Görelilik Kuramı üzerine temel bir giriş yapmıştık.

Çok temel iki kabulleniş, basit matematik ve bir düşünce deneyi ile bildiğimiz Newton fiziğini derinden etkileyecek sonuçlar çıkardık.

Genel Görelilik Kuramında da benzer şekilde ilerleyeceğiz… Ancak ne yazık ki önceki yazının aksine bu sefer biraz daha fazla matematiksel araca ihtiyacımız olacak… Tabii burada bana yazık oluyor :)..

Çünkü Genel Görelilik hakkında havada kalan, kimsenin anlamadığı terimlerin havada uçuştuğu, ne okuyanın okuduğundan ne de yazanın yazdığından bir şey anlamadığı bir yazı çıkarma cenderesine girmemek için bazı konuları sırasıyla anlatmam gerekecek…

Bunların hepsini yine kendi içinde anlaşılabilir ve basit şekilde anlatacağım. Bunun olması gerek çünkü;

  • Bilimsel konularda sırf ‘teknik detayını nasılsa kimse bilmiyor’ motivasyonuyla alakasız bir çok insanın bayağı alakasız şeyler yazdığını gözlemliyorum… Bilimsel argumanlarla ilgili en temel sıkıntı da bu. Normal bir eğitim almış insanın neyin bilimsel olup olmadığı konusundaki algısının sınırlı olması mevzusu, bu durumdan faydalanıp kendi saçma sapan literatürlerini yaratan bir kitle oluşturuyor.

Sonra da insanlar tutup bu saçmalıklarla dolu literatürün gerçek olmadığını anlatmaya çalışıyor…

Halbuki ortaya gerçek bilim işi koymak, bilimle ilgisi olmayan bir şeyin yanlışlığını ispatlamaya çalışmaktan bin kat daha değerli bence.

İnsanlar eforlarını düzgün ve pragmatik harcamalı. Kimsenin saçma argumanlarının yörüngesine girmemeli diye düşünüyorum. Tersi, sizi daima etkiye tepki veren, kendi ajandasını unutmuş kişiliksiz bireyler haline dönüştürmekten öteye götürmeyecektir… (bence)

  • İspatlamaya çalışacağımız denklem şu arkadaşlar:

GR21

Şöyle uzaktan bakıldığında baya farklı bir dilde kodlanmış bir yazı olarak görülebilir. Mevzuyu hiç bilmeyenlerin anladığı tek notasyon ‘+’, ‘=’ ve 1/2…  ha bir de c var ışık hızı. Gerisi muamma…

Bazen düşünüyorum da… Bir kaç yüz yıl sonra bu notasyonları gören biri aynı bizim hiyerogliflere baktığımız tebessümle mi bakacak?!

Şimdi diyorum ki biz denklemi sadece şu şudur, bu budur diye açıklamayacağız… Bu seri bittiğinde ispatlamış olacağız!

O halde gelin sıfırdan başlayalım.

Öncelikle formülde ne nedir, ne anlama gelir:

Rμν ; Ricci curvature (eğim) tensor,

R; scalar curvature,

gμν; metric tensor,

Λ ; cosmological constant,

G is Newton’s gravitational constant,

Tμν stress–energy tensor.

Şimdi görüldüğü gibi her şeyin başında önce bir Tensor kavramı var… Nedir bu Tensor dediğimiz şey, onu anlamamız lazım. Gerisi kendiliğinden gelecek…

Dolayısıyla sizlere Genel Görelilik konusunu anlatmak için belirli bir sırayı takip edeceğim (arada duruma göre oynamalar olabilir).

  • Mevzunun başlangıcı doğal olarak Tensor Nedir?!
  • Metrik Tensör Nedir?
  • Christoffel Sembolleri
  • Ve sonrasında Ricci Curvature ve Skalar; Stress-Energy Tensörleri…

Ancak minimum bu kadar yazı sonra Einstein Alan Denklemlerini çıkaracağız.

Biliyorum uzun görünüyor… Bir de bana sorun! :)..

Ancak insanlık tarihinin en büyük keşiflerinden biri olan kütleçekim dalgalarından karadeliklere; astrofizikteki hemen her gözlemin kesin yapılmasına vb. bir çok şeyin doğrudan sebebi olan bir sonucu anlamak için aslında çok da değil…

Einstein bu sonuca varabilmek için aşağı yukarı 10 yıl çalışıyor.

1915’te yayınladığı makalesi ilk başta büyük bir etki yaratıyor tabii ancak deneysel veri olmadığı için onu şu andaki statüsüne taşımaya yetmiyor.

http://hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Einstein_GRelativity_1916.pdf

Taa ki 1919’daki Arthur Eddington’ın Güneş Tutulması sırasında ışığın güneşin kütleçekimi tarafından bükülmesini göstermesine kadar…

Bu tarihten itibaren Einstein tam bir süperstar statüsüne erişiyor.

…………

Ancak tüm bu kavramları inceleyip sonunda denklemi elde ettiğimizde oturup anlamı üzerine konuşacağız. Çünkü başta da dediğim gibi şu an ne yorum yapsak havada kalır. Ve göreceksiniz ki ispata dek gittiğimiz yol, en sonda denklemi elde ettiğimizde bize zaten yorum yapacak bir derinlik kazandırmış olacak.

Evet o halde ilginç bir yolculuğa başlamak üzereyiz…

Sonraki yazıda ‘Tensor’ kavramı üzerinden başlıyoruz!