Nedir bu Kara Delikler? – Enformasyon Paradoksu

Önceki yazıda kara deliklere dair temel kavramların üzerinde durduğumuz bir giriş yapmıştık;

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/23/nedir-bu-kara-delikler/

Kara delik nedir; nasıl ve neden oluşur; olay ufku nedir vb. kavramları kısaca anlatmaya çalıştım…

Bu yazıda biraz daha komplike konular üzerinde duracağız… Hatta üzerinde duracağımız konulardan bazıları halen açık problemler olacak. O yüzden sonlara doğru anlaşılması zor gelirse şaşılacak bir durum yok; dünyada kimsenin tam olarak anlamadığı bir konuyu konuştuğumuzdan!..

……..

Öncelikle eğitim/sınav sistemi ve etrafında dönen konularla ilgili bunca gelişmenin yaşandığı bu günlerde bu haftanın konusunun kara delikler olması tesadüfen de olsa manidar :).. Arasaydım da daha iyi bir metafor bulmakta zorlanabilirdim.

……..

Şimdi, kara deliklerle ilgili bir kaç konuyu ayrı ayrı ele alacağım. Hepsi ara ara işimize yarayacak.

Önce kara deliğe düşen birinin kendi deneyimi ile dışarıdan birinin gözlemi arasındaki farkı inceleyelim. Alttaki imajda A ve B gözlemcisi bir uzay aracının içinde giderken A bir anda araçtan atılıyor, B ise araçla beraber gitmeye devam ediyor.

kd7.png

Bu bir zaman-pozisyon grafiği; ortadaki çizgi ışık hızını (c) temsil ediyor. Roketimiz o yüzden ancak asimptot şeklinde yaklaşabiliyor bu hıza.

Şimdi her iki gözlemci açısından duruma bakalım. A gözlemcisi roketten atıldıktan sonra, tam atılma anındaki sabit hızla siyah çizgi yönünde hareketine devam eder…

Ve yolculuğu boyunca, B’yi hep görebilir çünkü B’den gönderilen ışık (mavi ile) hep A’nın çizgisini kesecek şekildedir. A gözlemcisi, B’nin pozisyonunu her zaman gözleyebilir…

Fakat dikkat edilirse, aynı şey B için geçerli değildir. B gözlemcisi A’ya baktığında, A’dan gelen ışık (kırmızı ile) grafikte sarı ile gösterilen noktaya dek B’ye ulaşır ancak sonrasında B, A gözlemcisinden gelen hiç bir ışığı gözleyemez. Dikkat ederseniz A’dan giden ışığın B’ye ulaşması için çizmemiz gereken çizgilerin hepsinin eğimi, ışık hızı çizgisinden fazla olmak zorunda ki bu da ışık hızından daha yüksek hız anlamına geldiğinden imkansız olacaktır.

Not: hemen ara bir not olarak belirteyim, hem kırmızı hem de mavi çizgilerin A’dan B’ye B’den A’ya gönderilen ışığı temsil ettiğini; dolayısıyla  x-t grafiğindeki eğimlerinin asla ışık çizgisinin eğiminden fazla olamayacağı aklınızda bulunsun. O yüzden dikkat ederseniz kırmızı çizgiler ışık çizgisine paralel; maviler de onunla 90 dereceye tamamlayan cinsten (yani ters yönde ama eşit)

Dolayısıyla grafikte sarı ile gösterilen noktaya kadar B’nin A’yı gözlemlemesinden bir sorun yok ama sonrası için var. Fakat ufak bir nüans daha mevcut:

Dikkat edilirse A gözlemcisi sarı noktaya gelene dek, A’dan B’ye gönderilen ışık, neredeyse ışık hızına yaklaşan B’ye gitmek için hep daha çok mesafe almak zorunda. Öyle ki A sarı noktaya çok yaklaştığında, bunun B gözlemcisindeki algısı A’nın hep daha da yavaşladığı yönünde olacak… Ve sarı noktayı aslında hiç geçemediğini gözleyecektir!

………

Bu örneği verdim çünkü bahsettiğim şey tam olarak kara deliğe düşen bir gözlemciyle ona bakan ikinci bir gözlemcinin yaşadığı durumun aynısı!

kd8

A gözlemcisi kara deliğe doğru hızla giderken, kesikli çizgiyle gösterdiğim ‘olay ufkuna’ kadar, B gözlemcisi onu ilerliyor olarak görür… Ancak olay ufkuna yaklaştıkça A’nın git gide daha yavaş hareket ettiğini gözlemler ve onun referans noktasında A asla olay ufkunu geçmez… Halbuki A gözlemcisi çoktan olay ufkunu geçmiş ve kara deliğin inanılmaz çekim gücünde eğer o zamana dek parçalanıp ölmediyse tekillikte kaybolmuştur bile.

Not: Bir önceki örnekte B cismi ışık hızına yakın ivmelenirken bu örnekte duruyor, iki örnek nasıl benzeşir?! diyebilirsiniz… Güzel soru olur, ilk örnekte B’nin ışık hızına ivmelenerek yaklaşmasının etkisini kara delik örneğinde, kara deliğin etrafındaki uzay zamanı bükmesi sonucunda A’nın yaşadığı etkiyle kıyaslayabiliriz.

Böylelikle kara deliklerle ilgili ilk ilginç gözlemimizle karşı karşıyayız.

Ancak daha enteresan şeyler var bu gök cisimleri hakkında:

Örneğin:

kd9.png

Formüllerin ispatlarına girmeyeceğim çünkü argumanın kendisi daha önemli. Öncelikle kara delik entropisinin olay ufkunun yüzey alanı ile ilişkili olmasının çok önemli bir sonucu var:

Kara deliğe eklenen bir birim enerji, entropinin artmasına ve yüzey alanının genişlemesine sebep oluyor.

Kuantum fiziği, kara deliği sadece entropi ve sıcaklık sahibi olmasına değil başka ilginç durumlara da yol açıyor. Örneğin, kuantum fiziği evrende sürekli parçacık-antiparçacık ikililerinin oluştuğu ve bunların birbirlerini de anında yok ettiğini öngörür… Şimdi tam olay ufkunun dışında da parçacık – antiparçacık ikilileri oluştuğunu düşünelim; yalnız bu ikililer normaldeki gibi birbirini yok edemeden biri kara deliğin içine çekilecek diğeri de ışıma şeklinde olay ufkunun yüzeyinden yayılacaktır.

Hawking Işıması adı verilen bu etkinin yarattığı çok ilginç bir paradoks mevcut:

Hawking ışıması, olay ufkunun yüzey alanından enerji götürdükçe, olay ufkunun gittikçe küçülmesine ve bazı küçük boyuttaki kara deliklerin en sonunda yok olmasına yol açabilir!..

Bu durumda elimizde kuantum etkilerinin yarattığı yüzey ışıması sonucu buharlaşmış bir kara delik sorunsalı olur…

kd10.png

Bu bir sorunsal çünkü temel soru şu:

Peki o zamana dek kara deliğin yuttuğu her şeye ne olur?!

Enformasyon Paradoksu adı verilen bu ikilem, özetle kara deliğin o zamana kadar yuttuğu her şeyin bilgisinin bir anda kaybolmasını, fiziğin temel kuralları dahilinde nasıl açıklayabileceğimiz üzerine…

  • Kara delik dediğimiz oluşumu, klasik bir teori olan Genel Relativite ile bulduk.
  • Kara deliğin sınırı diyebileceğimiz Olay Ufku etrafında, Kuantum Fiziğinden kaynaklı bazı ışımalar olabileceğini keşfettik (Hawking Işıması)
  • ‘Yüzeydeki’ bu ışımaların kara deliğin olay ufkunu gittikçe daraltacağını ve sonunda kara deliğin buharlaşıp uçabileceğini gördük.
  • Peki kara deliğin o zamana yuttuğu şeylerin bilgisi nereye kayboldu?!

Evrende hiçbir bilginin, aynı enerji gibi, kaybolmadığını düşünürsek bu paradokstan nasıl çıkarız?!

…….

İşte kara delikler, ortaya koydukları bu zor sorular sayesinde Genel Görelilik ile Kuantum Fiziğinin tam kesişimindeki en önemli objeler… Bu iki teoriyi sağlıklı bir şekilde birleştirecek her kuramın bu paradoksları da doğal olarak çözmesi gerektiğinden bir barometre görevi görüyorlar.

Sonraki yazının konusu işte bu Enformasyon Paradoksu ekseninde olacak.

 

 

Reklamlar

Nedir bu Kara Delikler?!

Bir önceki hafta Özel/Genel Görelilik yazı dizisinin:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/11/einstein-ozel-genel-gorelilik-kuramlari-yazi-dizisi/

en doğal devamı muhtemelen kara delikler; o yüzden bu seride kara delikleri ve özelliklerini inceleyeceğiz.

……..

Kara deliklere bir çok açıdan yaklaşmak mümkün:

  • Matematiksel olarak; biliyoruz ki genel görelilik prensipleri bize Einstein Alan Denklemini veriyor. Einstein, Genel Görelilik makalesini yazdıktan sonra bu denklemin farklı metriklerde/geometrilerde çözümleri yıllar içinde çıkmaya başlıyor… Yalnız görülüyor ki Einstein denklemini çözen metrikler, bazı noktalarda tekillikler ihtiva ediyor. Yani belli koordinatlarda, denklem sonsuza gidiyor… Matematiksel olarak kara delik kavramının varlığı ta bu ilk çözümlerden kafaları karıştırmaya başlamış.
  • Astrofizik açısından bakıldığında, ‘bazı yıldızların’ belli bir aşamadan sonra kendi içlerine çökmeye başlayıp süpernova patlamaları yaşayacağı da neredeyse bir asır önce hesaplanmış bir şey.

Ancak gelin biz basit bir düşünce deneyi ile başlayalım:

Öncelikle biliyoruz ki, örneğin uzaya roket fırlatmak istesek, dünyanın yer çekiminden kaçması ve yörüngeye oturabilmesi için belli bir hızla göndermemiz lazım. Dikkat ederseniz roketimiz sonunda yine yer çekiminden kurtulamıyor ve yörüngeye oturuyor. Daha hızlı göndersek de sonuçta çok az da olsa dünyanın çekim gücünden etkilenecek…

Temel soru şu; roketimizi hangi hızda göndermeliyiz ki dünyanın çekim gücünden tamamen kendini kurtarıp sonsuzluğa kadar gidebilsin?!

kd1

kd2

Şimdi soruyu tersinden soralım:

Dünyanın yarıçapı ne olmalı ki ışık bile ( c=300000 km/sn hızıyla ) kaçamasın?!

Yine yukarıdaki denklemi kullanarak:

kd3

Dünyanın tüm kütlesini 8 mm’lik bir yarıçapa sığdırmak tabii biraz ütopik bir düşünce… Bir gezegenin veya daha geniş çerçevede bakarsak bir yıldızın bu duruma gelmesi biraz imkansız gibi…

Ya da değil mi acaba?!

1920’lerde astronomlar bazı yıldızların, boyutlarına göre inanılmaz yoğunluklarda olduğunu gözlemeye başlamış… Örneğin Sirius B’nin güneşin yoğunluğunun milyonlarca kat yoğun olduğu gözlenmiş. Bu da akıllara fiziken bu yıldızların nasıl bu yoğunlukta stabil olarak kalabildiği sorularını getirmiş. Şöyle ki;

Yıldızlar temelde yüzeylerindeki yoğun kütle çekimini içlerindeki nükleer reaksiyonlarla dengeleyen gök cisimleri… Yani içlerindeki nükleer reaksiyonlar bir nevi yakıtları gibi. Bu yakıt tükenmeye başladıkça kendi kütle çekimlerinin getirdiği baskı sonucu hacimleri küçülmeye başlıyor. Hacimleri küçüldükçe, nükleer reaksiyonların gerçekleştiği merkezlerindeki elektronların yarattığı bir ters basınç kuvveti doğuyor. Bunun da temel sebebi şu; kuantum fiziğinin en temel prensiplerinden Pauli Dışlama İlkesine göre iki elektron aynı enerji seviyesinde bulunup aynı özelliklere sahip olamaz (kabaca)…

Kütle çekiminin etkisiyle hacmin küçülmesi ise; bu elektronları daha küçük bir hacme sıkıştırdığından Pauli Prensibi yüzünden ister istemez bir çok elektron alt enerji seviyelerinden yüksek enerji seviyelerine çıkmak zorunda kalıyor… Bu yüksek enerjili, yani yüksek hızdaki elektronların dışarıya doğru yarattığı basınç (bir diğer ismi Elektron Dejenerasyon Kuvveti); kütle çekiminin yarattığı çöküşü dengeleyebiliyor…

1930’ların başında; ünlü fizikçi Chandrasekhar, bir yıldızın tam olarak hangi kütleye sahip olduğunda bu kütle çekimi-elektron basıncı dengesinin korunacağını hangi kütlenin ötesine geçildiğinde de içe doğru çöküşün devam edeceğini hesaplamış… Hem de Hindistan’dan İngilitere’ye bir gemi yolculuğu esnasında.

Buluyor ki bir yıldız, 1.4 Güneş kütlesinin üzerindeyse çökmeye devam ediyor; altındaysa stabil durumunu koruyabiliyor. Tabii 1.4 güneş kütlesinin üzerindeki yıldızlarda çöküşün devam etmesi demek eninde sonunda kara delik olasılığını yarattığı için Chandrasekhar’ın bu hesabı ilk başta ciddiye alınmamış (hatta Sir Arthur Eddington’ın bir konferansta açıkça dalga geçtiğine dair anlatılar da var)…

……..

Yani temelde, kütlesi, güneş kütlesinin 1.4 katı (ve üstü) olan bir yıldızın (spesifik olarak beyaz cücelerin) sonunda kendi içine doğru çökmesi kaçınılmaz. Ve bunlardan bazılarında çöküş o kadar engellenemez şekilde devam ediyor ki; uzay zamanı parçalayan yapılar olan kara deliğe dönüşüyorlar.

Bu giriş seviyesindeki yazıda ayrıca öğrendik ki temel olarak bir yıldızdan ışığın bile kaçamaması için gerekli olan yarıçap uzunluğu

kd4.png

Sonraki yazıda buna Schwarzschild yarıçapı dendiğini, Einstein denklemlerini çözen Schwardschild metriğinden de elde edilebileceğini göreceğiz. Prensipte ‘Olay Ufku’ denilen kavramın sınırlarını belirleyen yarıçapı, işte bu yarıçapıdır…

Ayrıca; Kara deliklerde enerji/entropi kavramları ile Hawking Işıması üzerinde duracağım.

Serinin 3. yazısı ise muhtemelen kara deliklerle ilgili açık problemler, kara deliğin içinde neler olduğu, kurt delikleri vb. konular üzerine olacak.

 

 

 

Einstein Özel-Genel Görelilik Kuramları Yazı Dizisi

Bu yazıda Görelilik üzerine yazdığım tüm yazıları birleştiriyorum… Yer yer ilginç şeyler bulduğumda tek bir yazı üzerinden güncellemeler yapmak niyetim.

Keyifli okumalar.


 

Özel Relativite… Özel Görelilik.

Önce isminden başlayalım; Nedir bu Relativiteyi özel kılan diye aklına gelenler vardır.

Aslında, ismi ‘Özel’ Relativite çünkü yine Einstein’ın geliştirdiği Genel Relativite’nin özel bir durumunu temsil eden bir kuram.

Nedir o özel durum?

Cisimlerin hareket etmediği ya da sabit hızla hareket ettiği durumları inceliyor bu kuram… Yani ivmelenme 0 (sıfır).

Okumaya devam et

Stres-Enerji Tensörü / Genel Görelilik Kuramı Son Bölüm

Genel Görelilik Kuramını anlamak üzerine 4. yazımız ile devam ediyoruz.

Öncesinde;

Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Einstein Alan Denklemini oluşturan parçaları tek tek incelemeye başlayıp Metrik Tensörü ele almıştık:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/06/tensor-ve-metrik-tensor-nedir/

Ve son yazıda Einstein Alan Denklemini oluşturan parçalardan Ricci Tensörü ve sabitini öğrendik. Bununla beraber de denklemin sol tarafındaki terimlerin tamamını incelemiş olduk:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/09/ricci-tensoru-ve-sabiti-nedir/

…….

Bu yazıda Einstein Alan Denkleminin sağ tarafındaki terimi; Stress-Enerji Tensörünü inceleyeceğiz:

GR21

Önceki yazıda da belirttiğim gibi denklemin sol tarafındaki terimlerin tamamı uzayın geometrisi üzerine ve sağ tarafta da tamamen fiziksel bir terim mevcut.

Gelin inceleyelim:

Bir kağıda iki nokta çizsem, aralarındaki en kısa mesafeyi veren rota nedir? Herkesin bildiği gibi, bu iki noktayı birleştiren ‘doğru’dur.

Peki diyelim bu iki nokta bir kürenin ya da hiç aşina olmadığımız başka bir yapının üzerinde… O zaman bu iki noktanın arasındaki en kısa mesafeyi veren rotayı nasıl buluruz?

gr57.png

Not: Hatırlayalım ki Christoffel sembolü dediğimiz kavram; Türevin farklı geometrilerdeki/uzaylardaki karşılığında gelen ekstra düzeltme terimiydi ve şimdi kuvvet ile doğrudan eşit olduğunu bulduk. Peki türev neyi hesaplıyordu; ~yüzeyin eğimini.  Yani bir anlamda;

Herhangi bir geometrideki eğim hesabının normal kartezyen uzaya göre olandan farklı/ekstra kısmını veren terim (Christoffel Sembolü) aslında ~kuvvet terimiymiş. Bir anlamda geometrinin getirdiği yüzey gerilimi gibi düşünülebilir.

O halde şimdi Christoffel Sembolünün açık halini hatırlayalım:

gr58

Şimdi, varsayalım ki elimizde tamamen yavaş hareketleri incelediğimiz durumlar var. Bu durumda biliyoruz ki Genel Görelilik, bildiğimiz Newton mekaniğine yaklaşıyor. Yine biliyoruz ki metrik tensör, g terimi,  sabite (1) dönüşüyor. Dolayısıyla g’nin tek önemli terimi, zaman terimi olacak… Buradan;

gr60

Bu aşamada matematikteki önemli teoremlerden birine ihtiyacımız olacak (divergence theorem):

Herhangi bir vektörün( kuvvet gibi) bir yüzey alanındaki toplam değeri, o vektörün türevinin kapalı yüzeyin hacminin içindeki toplam değerine eşittir. Bir başka deyişle:

GR61.png

gr62

…..

Evet şu an Einstein denkleminin sağ tarafını; yani Stress-Enerji tensörü kısmını da bitirmiş durumdayız.

Kimilerinin fazla matematik kullanmışsın, bilenlerin de matematiği parçalamışsın diyebileceği şekilde Einstein Alan Denklemini çıkarmış bulunuyoruz.

…..

Bu noktaya gelene dek geçtiğimiz tüm kilometre taşları şimdi tek tek anlam kazanıyor:

  • Önce en basit kavramla başladık; normal uzaydan farklı bir uzayda geometrinin nasıl tanımlandığını inceledik. Gördük ki eskiye göre bazı kalibrasyonlar oluyor ve bunu ‘metrik tensör’ dediğimiz araç yapıyor.
  • Sonra farklı bir uzayda ‘türev’ yani yüzeyin anlık eğiminin, bildiğimiz uzaya göre nasıl değiştiğini araştırdık. Gördük ki eskiye göre bazı kalibrasyonlar oluyor ve bunu ‘Christoffel sembolü’ dediğimiz araç yapıyor.
  • Sonra farklı bir uzayın genel olarak eğriliğini nasıl buluruz diye araştırdık. Gördük ki Ricci tensörü; bir vektörü bir yüzey üzerinde paralel taşıdığımızda ne kadar değiştiğini veren araç. Yani bir anlamda eğriliğin ölçüsü.
  • Sonra keşfettik ki aslında Christoffel sembolü; yüzeyin anlık eğimine gelen kalibrasyon olduğu gibi aynı zaman yüzeyin üzerindeki kuvvetle de doğrudan orantılı (mantıklı)
  • Sonra kapalı bir yüzeyin üzerindeki toplam kuvveti hesapladık (yada bir hacmin içindeki toplam potansiyeli) ve gördük ki enerjinin korunumu yasası bize Ricci tensörü ile ilişkili bir eşitlik veriyor. Bunu bir anlamda bir yüzeyin üzerinde bir kuvvetin yaptığı toplam işin, o yüzeyde paralel taşınmış bir vektörün ne kadar farklılaştığını hesaplayan Ricci tensörü ile bağlantısı şeklinde düşünebilirsiniz.

Evet görüldüğü gibi kütle çekimi kavramını tamamen uzayı geometrisi ile açıklayan Einstein alan denklemini daha anlamışızdır umarım.

…..

Buradan sonra gidilebilecek en bariz yol bu denklemin çeşitli geometrilerde (yani farklı metrik tensörler için) çözümlerini bulmak… Göreceğiz ki kara delik dediğimiz yapılar bu farklı metriklerin tanımsız olduğu (matematiksel olarak sonsuz veren koordinatlar) yerlerde ortaya çıkacak.

Ancak kara delikler tabii ki başlı başına ayrı bir yazı konusu.

…..

Evet bu uzun ve yorucu serinin sonuna gelmiş bulunuyoruz!.. Sonunda 🙂

Bu seriyi oluşturan tüm yazıları birleştirip devasa bir Özel-Genel Görelilik yazısı oluşturacağım. Ve arada ilgi çekici şeyler gördüğümde de yeni şeyler ekleyip güncelleyeceğim.

Umarım meraklılar için faydalı olmuştur.

 

 

 

Ricci Tensorü ve Sabiti Nedir?!

Genel Görelilik Kuramını anlamak üzerine 3. yazımız ile devam ediyoruz.

Öncesinde;

Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Ve son yazıda Einstein Alan Denklemini oluşturan parçaları tek tek incelemeye başlayıp Metrik Tensörü ele almıştık:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/06/tensor-ve-metrik-tensor-nedir/

……..

Bu yazıda, Einstein Denkleminin bir diğer parçası olan Ricci Tensörü ve Eğim Sabitini (curvature scalar) inceleyeceğiz:

gr46

(Not: Detaya girmeden önce son paragrafları önce okuyup sonra da buraya geri dönebilirsiniz.)

Öncelikle tensörler hakkında genel bir bilgi ile başlayalım;

Herhangi bir W ve V tensörleri eğer bir x-koordinat sisteminde eşitse

gr47.png

Her koordinat sisteminde eşittir.

Yalnız aynı şey tensörlerin türevleri için geçerli değil; çünkü türev dediğimiz kavram yani incelediğimiz fonksiyonun belirli bir noktaki eğitimi, farklı koordinat sistemlerinde farklı olabilir.

GR48

Matematiksel hesapları atlayarak (bir önceki yazıdakine çok benzer yöntemlerle) farklı bir koordinat sistemine geçildiğinde bir tensörün türevi şöyle değişiyor:

gr49.png

Özetle bir tensörü bir koordinat sistemindeki türevi, başka bir koordinatta Christoffel Sembolü kadar bir düzeltmeye uğruyor diyebiliriz.

Özetle bir tensörün türevinin genel tanımı (genel türevi/covaryant türevi ∇ notasyonu ile gösteriyoruz):

gr50.png  (1)

Şimdi diyeceksiniz ki ‘Neden bu acıları çekiyoruz?!’…

Hemen açıklayayım:

i) Önceki yazıda metrik tensörü,

gr26 öğrenmiştik… Metrik tensör özetle; bir uzayın, kartezyen koordinatlara göre farkının (ya da ne kadar kalibre olduğunun) bilgisini veren tensördü… Kısaca, içinde bulunduğumuz uzayın geometrisini tanımlayan tensör.

ii) Az önce bir tensörün türevini hesaplamanın formülünü bulduk… Yani bir anlamda bir tensörün, tanımlandığı uzaydaki eğimini hesap edebiliriz.

O halde neden bunu metrik tensör için yapmayalım?!

Ve madem metrik tensör bize uzayın geometrisini tanımlayan tensör, bunun türevini bulmamız demek; içinde bulunduğumuz uzayın eğimi/eğriliği hakkında bize bilgi veren bir sonuç elde etmemiz demek.

………..

Denklem (1)’i kullanarak:

gr51.png (2)

Görüleceği gibi bu denklemden Christoffel Sembollerini hesaplayabiliriz (uzun iş)…

– Niye bu kadar taktın bu Christoffel Sembollerine, Einstein denkleminde geçmiyor bile?! diyeceksiniz…

Hemen şimdi anlatacağım sebepten,

…….

Bir kürenin üzerindeki üçgende bir vektör düşünün ve bu vektörü bu üçgen üzerinde kendisine paralel şekilde ilerletin:

gr52.png

Şekilden de görüldüğü gibi vektör başladığı halinden farklı bir yönde geri geliyor…

Büyüklüğü aynı ancak oryantasyonu farklı.

Örneğin bunun aynını küre üzerinde değil de bildiğimiz düz dikdörtgende yapsak, vektörün ne yönü ne boyutu değişir.

İşte bu ‘paralel taşıma’ dediğimiz işlemi yaptığımızda bir vektör aynı da kalabilir farklı da olabilir.

Bu iki vektör arasındaki farkı incelediğimizde, bu farka dV diye tanımlarsak (matematiksel detayı atlayarak)

gr54

Yani, Ricci Tensörü dediğimiz şey aslında bir anlamda; içinde bulunduğu uzayda/geometride bir vektörü paralel taşıdığımızda her noktada uğradığı değişimin, normal Kartezyen Koordinattaki durumdan farkını veren araç…

…….

Şimdi geldiğimiz noktayı özetleyelim:

  1. Önceki yazıda metrik tensörün, bir uzayın, kartezyen koordinatlara göre farkının (ya da ne kadar kalibre olduğunun) bilgisini veren tensör olduğunu öğrendik. Kısaca, içinde bulunduğumuz uzayın geometrisini tanımlayan tensör.
  2. Bu yazıda; farklı koordinatlarda bir tensörün türevinin kalibre olduğunu, bunun da ölçüsünün Christoffel sembolleri ile verildiğini gördük.
  3. Yine bu yazıda; bazı geometrilerde bir vektörün paralel taşıdığınızda aynı şekilde geriye dönmeyeceğini; bu taşıma işleminin bildiğimiz kartezyen koordinatlara göre farklılığının ölçüsünün de Ricci Tensörü tarafından belirlendiğini gördük.
  4.  Einstein denkleminde R şeklinde geçen ve eğim sabiti olarak adlandırılan sabit de tamamen bu Ricci tensöründen çıkarılan bir sabit. R=0 ise uzayımız eğimi olmayan Öklid uzayı. R sıfırdan farklıysa uzayımız eğimli.

Konuyu basitçe açıklayan bir video için:

 

……

Dikkat ederseniz oldukça ilerledik ve Einstein denkleminin sol tarafındaki sembollerin tamamının anlamını öğrendik;

GR21

Ve yine tüm bunlardan ortaya çıkan ilginç bir nokta daha var;

  • Şimdiye dek öğrendiğimiz her şey uzayın geometrisi ile ilgili bilgi veren matematiksel araçlardı. Denklemin sol tarafına bir bakalım; Ricci tensörü, Ricci sabiti ve metrik tensörden oluşuyor… Yani denklemin sol tarafı tamamen içinde bulunduğumuz uzayın geometrisi ile ilgili. Bir sonraki yazıda sağ tarafı incelediğimizde göreceğiz ki orada da geometriye dair hiç bir şey yok… Sağ tarafta Stress-Enerji tensörü sol tarafta uzayın geometrisi!..

İşte kütleçekiminin uzayın geometrisinden ileri gelen, öyle tanımlanan bir kavram olduğu gözlemi tam olarak Einstein denklemlerinin bu yapısından ileri gelmekte.

  • Üstelik hangi geometri olduğunu da empose etmiyor. Yani bu denklemin çok farklı boyuttaki veya özellikteki uzaylarda/geometrilerde çok ilginç çözümleri mümkün…

Bu da bizi 1-2 yazı sonra karadeliklere götürecek.

…..

Evet yolun yarısını geçmiş bulunuyoruz. Sonraki yazıda denklemin geri kalanını da bitirip çıkarımını yapacağız.

 

 

 

 

 

 

Tensor ve Metrik Tensor Nedir?!

Bu yazı, takip edenlerin de bildiği üzere Einstein’ın Görelilik kuramları serisinin 3. yazısı.

Önce Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Sonra Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Bu yazıda Einstein Alan Denklemini anlamamız ve hatta çıkarmamız için gerekli olan matematiksel araçlardan birini tanıyacağız: Tensörler…

Sonda söyleyeceğimi başta söyleyeyim (ki belirli bir algı en başta oluşsun);

‘Skalar’ kavramı ile başlayalım… Skalar dediğimiz şey basitçe herhangi bir fiziksel ölçümün değeri olarak düşünülebilir; 50 Kg, 90 km/saat, 30 Celcius vb…

Herhangi bir yön unsuru içermez; sadece nicelik simgeler; Skalar.

‘Vektör’ kavramı ile devam edelim… Vektör dediğimiz şey de hem bir nicelik hem de yön ifade eden kavramlar olarak düşünülebilir; Hız dediğimiz şey hem ‘sürat’ (90km/saat) hem de yön bilgisi içerir… 90 km/saat ile doğuya; benzer şekilde ivme, kuvvet vb…

Hem yön hem nicelik simgeler; Vektör.

Birazdan anlatacağım Tensörleri, bu gidişatın en genel hali olarak düşünebilirsiniz:

Skalar 0. dereceden; Vektör 1. dereceden Tensördür…

Örneğin 2. dereceden bir Tensör olarak

GR24  μ,ν = x,y,z

Bu tensörü 3 boyutlu herhangi bir cismin her yüzeyine uygulanan kuvveti temsil eden total bir gösterim olarak düşünebiliriz:

GR23.png

Örneğin Txy; x-y düzlemine etkiyen; Tzx; z-x düzlemine etkiyen kuvveti temsil eden değerlerdir… Hepsini total olarak bir matrix’te göstermek de mümkün;

gr25.png

Göreceğiniz üzere; bunu daha yüksek boyutlara da taşımak mümkün; 3. dereceden, 5. dereceden tensörler vb…

Şimdi Einstein’ın alan denklemlerindeki notasyona umarım biraz daha aşinayız:

GR21

Bakın burada her şey 2. dereden Tensörler cinsinden… Hepsinin az önceki örnekte, bir cismin içinde her yöne etki eden kuvvetlerin temsiline benzer şekilde bir anlamı var…

Öncelikle inceleyeceğimiz tensör; Metrik Tensör:

gr26

Nedir bu Metrik Tensör dediğimiz şey?!

Şimdi gelin en basit mevzudan başlayalım;

Bir x-y düzleminde bir vektörün boyutunu bulalım;

GR27.png

V’nin büyüklüğünü hepimizin bildiği Pisagor bağıntısından bulmak mümkün:

gr28.png

Şimdi; benzerini çok küçük bir vektör için hesaplayalım. Bu tarz küçük büyüklükleri göstermek için türev notasyonu  kullanıyoruz: ds vektörü diyelim…

ds adını vereceğimiz küçük vektör, yukarıdaki büyüğüne benzer şekilde hem x yönünde hem de y yönünde küçük değişimlerin toplamı olacaktır.

x yönündeki ufak değişim dx; y yönündeki ufak değişim dy olarak adlandırılacak doğal olarak…

Şimdi basit olarak

gr32.png

ve

gr36

Dolayısıyla herhangi bir büyüklüğün; ismi ∅ olsun, s vektörü yönündeki değişimini incelemek demek; ∅’nin hem x hem de y yönündeki değişimlerini inceleyip toplamak demek:

Yani;

gr35

Yaptığımız iş her yöndeki değişimi alıp toplamaktan öte bir şey değil…

Şimdi benzer şekilde;

gr37.png

…….

Şimdi kritik kısımlardan birine geldik; x- koordinat sisteminden farklı bir y- koordinat sistemine geçtiğimizi düşünelim (aşağıdaki durumun sadece 2 boyutta değil n boyutta olanını düşünün)

gr39.png

Bu durumda

gr41.png

Yani, baştan beri metrik tensör dediğimiz şey aşağıdaki ifade;

gr42.png

…….

Şimdi yorumlayalım;

Normal bir Kartezyen koordinat sisteminde bir vektörün büyüklüğünü hesaplayarak başladık. Sonra eğer bir koordinat değişimi yaparsak bu vektörün büyüklüğünü veren denklemde ‘metrik tensör’ ifadesi gibi bir değişim faktörü olduğunu bulduk.

Buradan çıkarılacak sonuç şudur;

Eğer koordinat değişimini yine benzer bir kartezyen sisteme yapıyorsak sorun yok; bir vektörün büyüklüğünün hesabı değişmiyor.

Ancaaak, örneğin bu vektörün büyüklüğünü bir kürenin üzerinde hesaplamak istiyorsak o zaman ‘metrik tensör’ kadar bir kalibrasyon oluyor.

Özetle; metrik tensör dediğimiz kavram içinde bulunduğumuz uzayın geometrisinin, normal kartezyen koordinat sisteminden/Öklid uzayından ne kadar farkı var ve ne kadar kalibre olmuş, bize onu söylüyor.

gr43.gif

………….

Evet şu an Einstein Alan denklemlerini anlamaya bir adım daha yaklaştık…

Metrik Tensör, kavramı oldukça önemli. Farklı uzayların yapısını tek bir ifadede özetleyen bir araç farkındaysanız ve birini diğerine göre kıyaslama imkanı da veriyor.

Fizikçilerin evreni doğru modelleyen kuramlar arayışındaki en temel noktalardan biri de, modeli doğru bir geometride (yani doğru bir metrikte) tanımlamak. O yüzden şu an çok temel bir kavramı öğrenmiş durumdayız.

Bir geometriyi tanımlayan Metrik ne bildiğimiz zaman, örneğin o geometrinin eğimi dahil bir çok özelliğini bulmamız kolaylaşacak… Bu da bizi sonraki yazının konularına götürecek.

 

 

 

 

Nedir bu Genel Görelilik?! – Başlangıç

Bir önceki yazıda Einstein’ın 1905’te ortaya koyduğu Özel Görelilik Kuramı üzerine temel bir giriş yapmıştık.

Çok temel iki kabulleniş, basit matematik ve bir düşünce deneyi ile bildiğimiz Newton fiziğini derinden etkileyecek sonuçlar çıkardık.

Genel Görelilik Kuramında da benzer şekilde ilerleyeceğiz… Ancak ne yazık ki önceki yazının aksine bu sefer biraz daha fazla matematiksel araca ihtiyacımız olacak… Tabii burada bana yazık oluyor :)..

Çünkü Genel Görelilik hakkında havada kalan, kimsenin anlamadığı terimlerin havada uçuştuğu, ne okuyanın okuduğundan ne de yazanın yazdığından bir şey anlamadığı bir yazı çıkarma cenderesine girmemek için bazı konuları sırasıyla anlatmam gerekecek…

Bunların hepsini yine kendi içinde anlaşılabilir ve basit şekilde anlatacağım. Bunun olması gerek çünkü;

  • Bilimsel konularda sırf ‘teknik detayını nasılsa kimse bilmiyor’ motivasyonuyla alakasız bir çok insanın bayağı alakasız şeyler yazdığını gözlemliyorum… Bilimsel argumanlarla ilgili en temel sıkıntı da bu. Normal bir eğitim almış insanın neyin bilimsel olup olmadığı konusundaki algısının sınırlı olması mevzusu, bu durumdan faydalanıp kendi saçma sapan literatürlerini yaratan bir kitle oluşturuyor.

Sonra da insanlar tutup bu saçmalıklarla dolu literatürün gerçek olmadığını anlatmaya çalışıyor…

Halbuki ortaya gerçek bilim işi koymak, bilimle ilgisi olmayan bir şeyin yanlışlığını ispatlamaya çalışmaktan bin kat daha değerli bence.

İnsanlar eforlarını düzgün ve pragmatik harcamalı. Kimsenin saçma argumanlarının yörüngesine girmemeli diye düşünüyorum. Tersi, sizi daima etkiye tepki veren, kendi ajandasını unutmuş kişiliksiz bireyler haline dönüştürmekten öteye götürmeyecektir… (bence)

  • İspatlamaya çalışacağımız denklem şu arkadaşlar:

GR21

Şöyle uzaktan bakıldığında baya farklı bir dilde kodlanmış bir yazı olarak görülebilir. Mevzuyu hiç bilmeyenlerin anladığı tek notasyon ‘+’, ‘=’ ve 1/2…  ha bir de c var ışık hızı. Gerisi muamma…

Bazen düşünüyorum da… Bir kaç yüz yıl sonra bu notasyonları gören biri aynı bizim hiyerogliflere baktığımız tebessümle mi bakacak?!

Şimdi diyorum ki biz denklemi sadece şu şudur, bu budur diye açıklamayacağız… Bu seri bittiğinde ispatlamış olacağız!

O halde gelin sıfırdan başlayalım.

Öncelikle formülde ne nedir, ne anlama gelir:

Rμν ; Ricci curvature (eğim) tensor,

R; scalar curvature,

gμν; metric tensor,

Λ ; cosmological constant,

G is Newton’s gravitational constant,

Tμν stress–energy tensor.

Şimdi görüldüğü gibi her şeyin başında önce bir Tensor kavramı var… Nedir bu Tensor dediğimiz şey, onu anlamamız lazım. Gerisi kendiliğinden gelecek…

Dolayısıyla sizlere Genel Görelilik konusunu anlatmak için belirli bir sırayı takip edeceğim (arada duruma göre oynamalar olabilir).

  • Mevzunun başlangıcı doğal olarak Tensor Nedir?!
  • Metrik Tensör Nedir?
  • Christoffel Sembolleri
  • Ve sonrasında Ricci Curvature ve Skalar; Stress-Energy Tensörleri…

Ancak minimum bu kadar yazı sonra Einstein Alan Denklemlerini çıkaracağız.

Biliyorum uzun görünüyor… Bir de bana sorun! :)..

Ancak insanlık tarihinin en büyük keşiflerinden biri olan kütleçekim dalgalarından karadeliklere; astrofizikteki hemen her gözlemin kesin yapılmasına vb. bir çok şeyin doğrudan sebebi olan bir sonucu anlamak için aslında çok da değil…

Einstein bu sonuca varabilmek için aşağı yukarı 10 yıl çalışıyor.

1915’te yayınladığı makalesi ilk başta büyük bir etki yaratıyor tabii ancak deneysel veri olmadığı için onu şu andaki statüsüne taşımaya yetmiyor.

http://hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Einstein_GRelativity_1916.pdf

Taa ki 1919’daki Arthur Eddington’ın Güneş Tutulması sırasında ışığın güneşin kütleçekimi tarafından bükülmesini göstermesine kadar…

Bu tarihten itibaren Einstein tam bir süperstar statüsüne erişiyor.

…………

Ancak tüm bu kavramları inceleyip sonunda denklemi elde ettiğimizde oturup anlamı üzerine konuşacağız. Çünkü başta da dediğim gibi şu an ne yorum yapsak havada kalır. Ve göreceksiniz ki ispata dek gittiğimiz yol, en sonda denklemi elde ettiğimizde bize zaten yorum yapacak bir derinlik kazandırmış olacak.

Evet o halde ilginç bir yolculuğa başlamak üzereyiz…

Sonraki yazıda ‘Tensor’ kavramı üzerinden başlıyoruz!