Einstein Özel-Genel Görelilik Kuramları Yazı Dizisi

Bu yazıda Görelilik üzerine yazdığım tüm yazıları birleştiriyorum… Yer yer ilginç şeyler bulduğumda tek bir yazı üzerinden güncellemeler yapmak niyetim.

Keyifli okumalar.


 

Özel Relativite… Özel Görelilik.

Önce isminden başlayalım; Nedir bu Relativiteyi özel kılan diye aklına gelenler vardır.

Aslında, ismi ‘Özel’ Relativite çünkü yine Einstein’ın geliştirdiği Genel Relativite’nin özel bir durumunu temsil eden bir kuram.

Nedir o özel durum?

Cisimlerin hareket etmediği ya da sabit hızla hareket ettiği durumları inceliyor bu kuram… Yani ivmelenme 0 (sıfır).

Okumaya devam et

Reklamlar

Stres-Enerji Tensörü / Genel Görelilik Kuramı Son Bölüm

Genel Görelilik Kuramını anlamak üzerine 4. yazımız ile devam ediyoruz.

Öncesinde;

Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Einstein Alan Denklemini oluşturan parçaları tek tek incelemeye başlayıp Metrik Tensörü ele almıştık:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/06/tensor-ve-metrik-tensor-nedir/

Ve son yazıda Einstein Alan Denklemini oluşturan parçalardan Ricci Tensörü ve sabitini öğrendik. Bununla beraber de denklemin sol tarafındaki terimlerin tamamını incelemiş olduk:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/09/ricci-tensoru-ve-sabiti-nedir/

…….

Bu yazıda Einstein Alan Denkleminin sağ tarafındaki terimi; Stress-Enerji Tensörünü inceleyeceğiz:

GR21

Önceki yazıda da belirttiğim gibi denklemin sol tarafındaki terimlerin tamamı uzayın geometrisi üzerine ve sağ tarafta da tamamen fiziksel bir terim mevcut.

Gelin inceleyelim:

Bir kağıda iki nokta çizsem, aralarındaki en kısa mesafeyi veren rota nedir? Herkesin bildiği gibi, bu iki noktayı birleştiren ‘doğru’dur.

Peki diyelim bu iki nokta bir kürenin ya da hiç aşina olmadığımız başka bir yapının üzerinde… O zaman bu iki noktanın arasındaki en kısa mesafeyi veren rotayı nasıl buluruz?

gr57.png

Not: Hatırlayalım ki Christoffel sembolü dediğimiz kavram; Türevin farklı geometrilerdeki/uzaylardaki karşılığında gelen ekstra düzeltme terimiydi ve şimdi kuvvet ile doğrudan eşit olduğunu bulduk. Peki türev neyi hesaplıyordu; ~yüzeyin eğimini.  Yani bir anlamda;

Herhangi bir geometrideki eğim hesabının normal kartezyen uzaya göre olandan farklı/ekstra kısmını veren terim (Christoffel Sembolü) aslında ~kuvvet terimiymiş. Bir anlamda geometrinin getirdiği yüzey gerilimi gibi düşünülebilir.

O halde şimdi Christoffel Sembolünün açık halini hatırlayalım:

gr58

Şimdi, varsayalım ki elimizde tamamen yavaş hareketleri incelediğimiz durumlar var. Bu durumda biliyoruz ki Genel Görelilik, bildiğimiz Newton mekaniğine yaklaşıyor. Yine biliyoruz ki metrik tensör, g terimi,  sabite (1) dönüşüyor. Dolayısıyla g’nin tek önemli terimi, zaman terimi olacak… Buradan;

gr60

Bu aşamada matematikteki önemli teoremlerden birine ihtiyacımız olacak (divergence theorem):

Herhangi bir vektörün( kuvvet gibi) bir yüzey alanındaki toplam değeri, o vektörün türevinin kapalı yüzeyin hacminin içindeki toplam değerine eşittir. Bir başka deyişle:

GR61.png

gr62

…..

Evet şu an Einstein denkleminin sağ tarafını; yani Stress-Enerji tensörü kısmını da bitirmiş durumdayız.

Kimilerinin fazla matematik kullanmışsın, bilenlerin de matematiği parçalamışsın diyebileceği şekilde Einstein Alan Denklemini çıkarmış bulunuyoruz.

…..

Bu noktaya gelene dek geçtiğimiz tüm kilometre taşları şimdi tek tek anlam kazanıyor:

  • Önce en basit kavramla başladık; normal uzaydan farklı bir uzayda geometrinin nasıl tanımlandığını inceledik. Gördük ki eskiye göre bazı kalibrasyonlar oluyor ve bunu ‘metrik tensör’ dediğimiz araç yapıyor.
  • Sonra farklı bir uzayda ‘türev’ yani yüzeyin anlık eğiminin, bildiğimiz uzaya göre nasıl değiştiğini araştırdık. Gördük ki eskiye göre bazı kalibrasyonlar oluyor ve bunu ‘Christoffel sembolü’ dediğimiz araç yapıyor.
  • Sonra farklı bir uzayın genel olarak eğriliğini nasıl buluruz diye araştırdık. Gördük ki Ricci tensörü; bir vektörü bir yüzey üzerinde paralel taşıdığımızda ne kadar değiştiğini veren araç. Yani bir anlamda eğriliğin ölçüsü.
  • Sonra keşfettik ki aslında Christoffel sembolü; yüzeyin anlık eğimine gelen kalibrasyon olduğu gibi aynı zaman yüzeyin üzerindeki kuvvetle de doğrudan orantılı (mantıklı)
  • Sonra kapalı bir yüzeyin üzerindeki toplam kuvveti hesapladık (yada bir hacmin içindeki toplam potansiyeli) ve gördük ki enerjinin korunumu yasası bize Ricci tensörü ile ilişkili bir eşitlik veriyor. Bunu bir anlamda bir yüzeyin üzerinde bir kuvvetin yaptığı toplam işin, o yüzeyde paralel taşınmış bir vektörün ne kadar farklılaştığını hesaplayan Ricci tensörü ile bağlantısı şeklinde düşünebilirsiniz.

Evet görüldüğü gibi kütle çekimi kavramını tamamen uzayı geometrisi ile açıklayan Einstein alan denklemini daha anlamışızdır umarım.

…..

Buradan sonra gidilebilecek en bariz yol bu denklemin çeşitli geometrilerde (yani farklı metrik tensörler için) çözümlerini bulmak… Göreceğiz ki kara delik dediğimiz yapılar bu farklı metriklerin tanımsız olduğu (matematiksel olarak sonsuz veren koordinatlar) yerlerde ortaya çıkacak.

Ancak kara delikler tabii ki başlı başına ayrı bir yazı konusu.

…..

Evet bu uzun ve yorucu serinin sonuna gelmiş bulunuyoruz!.. Sonunda 🙂

Bu seriyi oluşturan tüm yazıları birleştirip devasa bir Özel-Genel Görelilik yazısı oluşturacağım. Ve arada ilgi çekici şeyler gördüğümde de yeni şeyler ekleyip güncelleyeceğim.

Umarım meraklılar için faydalı olmuştur.

 

 

 

Tensor ve Metrik Tensor Nedir?!

Bu yazı, takip edenlerin de bildiği üzere Einstein’ın Görelilik kuramları serisinin 3. yazısı.

Önce Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Sonra Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Bu yazıda Einstein Alan Denklemini anlamamız ve hatta çıkarmamız için gerekli olan matematiksel araçlardan birini tanıyacağız: Tensörler…

Sonda söyleyeceğimi başta söyleyeyim (ki belirli bir algı en başta oluşsun);

‘Skalar’ kavramı ile başlayalım… Skalar dediğimiz şey basitçe herhangi bir fiziksel ölçümün değeri olarak düşünülebilir; 50 Kg, 90 km/saat, 30 Celcius vb…

Herhangi bir yön unsuru içermez; sadece nicelik simgeler; Skalar.

‘Vektör’ kavramı ile devam edelim… Vektör dediğimiz şey de hem bir nicelik hem de yön ifade eden kavramlar olarak düşünülebilir; Hız dediğimiz şey hem ‘sürat’ (90km/saat) hem de yön bilgisi içerir… 90 km/saat ile doğuya; benzer şekilde ivme, kuvvet vb…

Hem yön hem nicelik simgeler; Vektör.

Birazdan anlatacağım Tensörleri, bu gidişatın en genel hali olarak düşünebilirsiniz:

Skalar 0. dereceden; Vektör 1. dereceden Tensördür…

Örneğin 2. dereceden bir Tensör olarak

GR24  μ,ν = x,y,z

Bu tensörü 3 boyutlu herhangi bir cismin her yüzeyine uygulanan kuvveti temsil eden total bir gösterim olarak düşünebiliriz:

GR23.png

Örneğin Txy; x-y düzlemine etkiyen; Tzx; z-x düzlemine etkiyen kuvveti temsil eden değerlerdir… Hepsini total olarak bir matrix’te göstermek de mümkün;

gr25.png

Göreceğiniz üzere; bunu daha yüksek boyutlara da taşımak mümkün; 3. dereceden, 5. dereceden tensörler vb…

Şimdi Einstein’ın alan denklemlerindeki notasyona umarım biraz daha aşinayız:

GR21

Bakın burada her şey 2. dereden Tensörler cinsinden… Hepsinin az önceki örnekte, bir cismin içinde her yöne etki eden kuvvetlerin temsiline benzer şekilde bir anlamı var…

Öncelikle inceleyeceğimiz tensör; Metrik Tensör:

gr26

Nedir bu Metrik Tensör dediğimiz şey?!

Şimdi gelin en basit mevzudan başlayalım;

Bir x-y düzleminde bir vektörün boyutunu bulalım;

GR27.png

V’nin büyüklüğünü hepimizin bildiği Pisagor bağıntısından bulmak mümkün:

gr28.png

Şimdi; benzerini çok küçük bir vektör için hesaplayalım. Bu tarz küçük büyüklükleri göstermek için türev notasyonu  kullanıyoruz: ds vektörü diyelim…

ds adını vereceğimiz küçük vektör, yukarıdaki büyüğüne benzer şekilde hem x yönünde hem de y yönünde küçük değişimlerin toplamı olacaktır.

x yönündeki ufak değişim dx; y yönündeki ufak değişim dy olarak adlandırılacak doğal olarak…

Şimdi basit olarak

gr32.png

ve

gr36

Dolayısıyla herhangi bir büyüklüğün; ismi ∅ olsun, s vektörü yönündeki değişimini incelemek demek; ∅’nin hem x hem de y yönündeki değişimlerini inceleyip toplamak demek:

Yani;

gr35

Yaptığımız iş her yöndeki değişimi alıp toplamaktan öte bir şey değil…

Şimdi benzer şekilde;

gr37.png

…….

Şimdi kritik kısımlardan birine geldik; x- koordinat sisteminden farklı bir y- koordinat sistemine geçtiğimizi düşünelim (aşağıdaki durumun sadece 2 boyutta değil n boyutta olanını düşünün)

gr39.png

Bu durumda

gr41.png

Yani, baştan beri metrik tensör dediğimiz şey aşağıdaki ifade;

gr42.png

…….

Şimdi yorumlayalım;

Normal bir Kartezyen koordinat sisteminde bir vektörün büyüklüğünü hesaplayarak başladık. Sonra eğer bir koordinat değişimi yaparsak bu vektörün büyüklüğünü veren denklemde ‘metrik tensör’ ifadesi gibi bir değişim faktörü olduğunu bulduk.

Buradan çıkarılacak sonuç şudur;

Eğer koordinat değişimini yine benzer bir kartezyen sisteme yapıyorsak sorun yok; bir vektörün büyüklüğünün hesabı değişmiyor.

Ancaaak, örneğin bu vektörün büyüklüğünü bir kürenin üzerinde hesaplamak istiyorsak o zaman ‘metrik tensör’ kadar bir kalibrasyon oluyor.

Özetle; metrik tensör dediğimiz kavram içinde bulunduğumuz uzayın geometrisinin, normal kartezyen koordinat sisteminden/Öklid uzayından ne kadar farkı var ve ne kadar kalibre olmuş, bize onu söylüyor.

gr43.gif

………….

Evet şu an Einstein Alan denklemlerini anlamaya bir adım daha yaklaştık…

Metrik Tensör, kavramı oldukça önemli. Farklı uzayların yapısını tek bir ifadede özetleyen bir araç farkındaysanız ve birini diğerine göre kıyaslama imkanı da veriyor.

Fizikçilerin evreni doğru modelleyen kuramlar arayışındaki en temel noktalardan biri de, modeli doğru bir geometride (yani doğru bir metrikte) tanımlamak. O yüzden şu an çok temel bir kavramı öğrenmiş durumdayız.

Bir geometriyi tanımlayan Metrik ne bildiğimiz zaman, örneğin o geometrinin eğimi dahil bir çok özelliğini bulmamız kolaylaşacak… Bu da bizi sonraki yazının konularına götürecek.

 

 

 

 

Nedir bu Genel Görelilik?! – Başlangıç

Bir önceki yazıda Einstein’ın 1905’te ortaya koyduğu Özel Görelilik Kuramı üzerine temel bir giriş yapmıştık.

Çok temel iki kabulleniş, basit matematik ve bir düşünce deneyi ile bildiğimiz Newton fiziğini derinden etkileyecek sonuçlar çıkardık.

Genel Görelilik Kuramında da benzer şekilde ilerleyeceğiz… Ancak ne yazık ki önceki yazının aksine bu sefer biraz daha fazla matematiksel araca ihtiyacımız olacak… Tabii burada bana yazık oluyor :)..

Çünkü Genel Görelilik hakkında havada kalan, kimsenin anlamadığı terimlerin havada uçuştuğu, ne okuyanın okuduğundan ne de yazanın yazdığından bir şey anlamadığı bir yazı çıkarma cenderesine girmemek için bazı konuları sırasıyla anlatmam gerekecek…

Bunların hepsini yine kendi içinde anlaşılabilir ve basit şekilde anlatacağım. Bunun olması gerek çünkü;

  • Bilimsel konularda sırf ‘teknik detayını nasılsa kimse bilmiyor’ motivasyonuyla alakasız bir çok insanın bayağı alakasız şeyler yazdığını gözlemliyorum… Bilimsel argumanlarla ilgili en temel sıkıntı da bu. Normal bir eğitim almış insanın neyin bilimsel olup olmadığı konusundaki algısının sınırlı olması mevzusu, bu durumdan faydalanıp kendi saçma sapan literatürlerini yaratan bir kitle oluşturuyor.

Sonra da insanlar tutup bu saçmalıklarla dolu literatürün gerçek olmadığını anlatmaya çalışıyor…

Halbuki ortaya gerçek bilim işi koymak, bilimle ilgisi olmayan bir şeyin yanlışlığını ispatlamaya çalışmaktan bin kat daha değerli bence.

İnsanlar eforlarını düzgün ve pragmatik harcamalı. Kimsenin saçma argumanlarının yörüngesine girmemeli diye düşünüyorum. Tersi, sizi daima etkiye tepki veren, kendi ajandasını unutmuş kişiliksiz bireyler haline dönüştürmekten öteye götürmeyecektir… (bence)

  • İspatlamaya çalışacağımız denklem şu arkadaşlar:

GR21

Şöyle uzaktan bakıldığında baya farklı bir dilde kodlanmış bir yazı olarak görülebilir. Mevzuyu hiç bilmeyenlerin anladığı tek notasyon ‘+’, ‘=’ ve 1/2…  ha bir de c var ışık hızı. Gerisi muamma…

Bazen düşünüyorum da… Bir kaç yüz yıl sonra bu notasyonları gören biri aynı bizim hiyerogliflere baktığımız tebessümle mi bakacak?!

Şimdi diyorum ki biz denklemi sadece şu şudur, bu budur diye açıklamayacağız… Bu seri bittiğinde ispatlamış olacağız!

O halde gelin sıfırdan başlayalım.

Öncelikle formülde ne nedir, ne anlama gelir:

Rμν ; Ricci curvature (eğim) tensor,

R; scalar curvature,

gμν; metric tensor,

Λ ; cosmological constant,

G is Newton’s gravitational constant,

Tμν stress–energy tensor.

Şimdi görüldüğü gibi her şeyin başında önce bir Tensor kavramı var… Nedir bu Tensor dediğimiz şey, onu anlamamız lazım. Gerisi kendiliğinden gelecek…

Dolayısıyla sizlere Genel Görelilik konusunu anlatmak için belirli bir sırayı takip edeceğim (arada duruma göre oynamalar olabilir).

  • Mevzunun başlangıcı doğal olarak Tensor Nedir?!
  • Metrik Tensör Nedir?
  • Christoffel Sembolleri
  • Ve sonrasında Ricci Curvature ve Skalar; Stress-Energy Tensörleri…

Ancak minimum bu kadar yazı sonra Einstein Alan Denklemlerini çıkaracağız.

Biliyorum uzun görünüyor… Bir de bana sorun! :)..

Ancak insanlık tarihinin en büyük keşiflerinden biri olan kütleçekim dalgalarından karadeliklere; astrofizikteki hemen her gözlemin kesin yapılmasına vb. bir çok şeyin doğrudan sebebi olan bir sonucu anlamak için aslında çok da değil…

Einstein bu sonuca varabilmek için aşağı yukarı 10 yıl çalışıyor.

1915’te yayınladığı makalesi ilk başta büyük bir etki yaratıyor tabii ancak deneysel veri olmadığı için onu şu andaki statüsüne taşımaya yetmiyor.

http://hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Einstein_GRelativity_1916.pdf

Taa ki 1919’daki Arthur Eddington’ın Güneş Tutulması sırasında ışığın güneşin kütleçekimi tarafından bükülmesini göstermesine kadar…

Bu tarihten itibaren Einstein tam bir süperstar statüsüne erişiyor.

…………

Ancak tüm bu kavramları inceleyip sonunda denklemi elde ettiğimizde oturup anlamı üzerine konuşacağız. Çünkü başta da dediğim gibi şu an ne yorum yapsak havada kalır. Ve göreceksiniz ki ispata dek gittiğimiz yol, en sonda denklemi elde ettiğimizde bize zaten yorum yapacak bir derinlik kazandırmış olacak.

Evet o halde ilginç bir yolculuğa başlamak üzereyiz…

Sonraki yazıda ‘Tensor’ kavramı üzerinden başlıyoruz!