Doğanın Geometrisi (2) – Fraktallar

Geçenlerde ‘Doğanın Geometrisi ve Minimal Yüzeyler‘ üzerine yazdığım yazının hem öncesinde ve hem de sonrasında altın oran ve fraktallarla ilgili de bazı istekler olmuştu…

Bugün tesadüfen izlediğim bir video ile bu fraktallar ve altın oran konusunu birleştiren ufak not şeklinde bir şeyler karalamak istedim.

Fraktallar aslında ta 17. yüzyıldaki matematiksel çalışmalarda karşımıza çıkmasına rağmen, ‘Fraktal’ terimini ortaya koyup teorisini de netleştiren çalışmaları yapan kişi, 1980’lerde Mandelbrot isminde bir matematikçi.

……..

Bugün ilk defa Mandelbrot Kümesi denilen fraktal yapı ile karşılaşıp etkilendiğim için hakkında bir şeyler yazmak istedim.

Maldelbrot kümesinin tanımı şu:

{\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}+c} ; c bir kompleks sayı olmak üzere z=0 noktasından iterasyonu yapıldığında sonsuza gitmeyen her c sayısı Mandelbrot kümesinin içinde oluyor.

Basit bir örnek ile; c=-1 ise; f(0) = -1… Bir iterasyon sonra f(-1)=0; İkinci iterasyon f(0)=-1 vs. görüyoruz ki sonsuza gitmiyor…

Bu koşulu sağlayan kümenin kompleks düzlemdeki grafiği şöyle oluşmakta:

fr1.pngfr2.png

Şimdi bu yapının kendisine zoom yapıldığında göreceğiz ki:

 

fr3fr4fr5.png

Aynı yapı kendini tekrar ediyor. Bu zaten fraktalların matematiksel tanımı gibi; Kendi içinde birbirini tekrar eden geometrik yapılar.

……

Mandelbrot kümesinin oluşturduğu şekle bakınca ilginç bir durum gözlemek mümkün:

Dikkatli bakıldığında her yuvarlak bölümün üzerinde bazı dallanmalar olduğunu görmek mümkün. Büyük yuvarlaktan başlanarak sayıldığında, her bir şeklinde üzerindeki dallanma Fibonacci serisindeki sayıları veriyor!

fr6.png

Fibonacci Serisi de bilindiği gibi Altın Oran ile doğrudan alakalı olan sayı dizisi.

…..

Doğada da pek çok yerde buna benzer fraktal yapıların oluştuğunu gözlemek mümkün:

 

Brokoliden yüksek voltaj verilmiş cama; yaprakların yapılarından hava kabarcıklarına kadar…

Önceki ‘doğanın geometrisi’ yazısında doğada bazı şekillerin oluşmasının fiziksel bir optimizasyon gereği olabileceğinden bahsetmiştik… Bu fraktalların oluşmasının ve doğanın hemen her yerinde gözlenmesinin sebebininde benzer olduğunu düşünmekle beraber zannediyorum bu başlı başına bir yazı konusu.

Yine de Fibonacci dizisinin bu denli sık karşımıza çıkmasının temel sebebi beni oldukça meraklandırıyor…

…….

Benim de yeni yeni  öğrenmeye başladığım bu yapılar hakkında biraz daha detaylı matematik için:

 

 

Reklamlar

Matematik bir icat mı yoksa zamanla keşfedilen bir gerçeklik mi?

Matematiğin mantıksızca etkili ve işe yarar olması…

Bunu zamanında ünlü matematikçi Wigner söylemiş: The unreasonable effectiveness of mathematics…

Matematikle ilgili çok temel bir sorunun bağlamında söylemiş bu sözü:

Matematik insan aklının ürünü bir icat mı yoksa biz zaten orada duran ve ismi Matematik olan bir gerçekliği zamanla keşif mi ediyoruz?!

Evet gündemi çok yakından ilgilendiren bir konu ile karşınızdayım gördüğünüz gibi :)…

Aslında dolaylı yoldan da olsa gündemi eğitim bağlamında ilgilendiriyor.

Şöyle ki; çok küçük yaştan itibaren matematik eğitimi alan ve daha aldığı ilk dakikadan itibaren ‘Bu benim ne işime yarayacak?’ sorusunu soran çocuklara ilk anlatılması gereken aslında bu yazının konusu olan mevzular olmalı.

Haklı olarak öğreneceği şeyin ne işine yarayacağını merak eden çocuk belli gerçeklerin daha en başta farkına vardığında öğreneceği her şeyi tamamen farklı bir bağlamda değerlendirecektir.

Şimdi bakalım, hiç araştırmadan sadece şu an aklıma ilk gelenleri yazsam şunlar var;

  • Fibonacci sayı dizisi tamamen tavşanların üreme örgüsünden çıkmış, sonra doğanın her tarafında; çiçekli bitkilerin yaprak sayılarının, galaksilerdeki spirallerin vs. bu diziyi takip ettiği gözlenmiştir…
  • Grup Teorisi ve simetriler (ve simetri grupları) kuantum kuramından neredeyse yüz yıl önce matematikçilerin tamamen soyut olarak geliştirdikleri bir kavramken şu an doğadaki mevcut tüm parçacıkların bir simetri grubunun elemanları olduğunu görüyoruz. Hatta öyle ki, bu simetri grubunun keşfedilmemiş elemanları geçmişte bazı parçacıkların varlığını fiziksel deneylerden önce işaret etmiştir…
  • Einstein’ın Genel Görelilik kuramı, evreni Riemann geometrisi üzerinde açıklar. Riemann bu geometriyi Einstein’dan çok uzun zaman önce pratikte bir işe yarayıp yaramadığını bilmeden bulmuştur…
  • Genel Göreliliğin temel denklemi Einstein denkleminin çeşitli metriklerdeki çözümlerinin bazı tekil noktalar içerdiği bundan 60-70 yıl önce bulunmuş matematiksel çalışmalardır. Artık bu tekilliklere karadelik diyoruz…
  • Knot Theory (Türkçesi var mı emin değilim; Düğüm Teorisi), DNA sarmalının kendi içindeki karmaşık düğüm yapısının anlaşılmasını sağlamıştır…
  • Topolojinin yeni materyaller ve nanoteknolojideki önemi…
  • Algebraic Geometry’nin String Theory içindeki yeri…

İnsana matematiğin zaten orada duran bir gerçeklikler bütünü olduğu ve bu gerçekliklerin doğadaki anlamının biz keşfettikçe ortaya çıktığını düşündürüyor…

Mevzuya en başından bu şekilde bakmayı öğrenen çocuğun tüm bakış açısı değişmez mi? Değişir!..

Tabi tüm bu mevzunun getirdiği başka sorular var;

Matematiği formüle ediş biçimimiz, temel kavramlarımız bambaşka olabilir mi?!

Bunu da ilerledikçe öğreniyoruz. Şu an dünyanın bir çok yerinde sayısı oldukça az olan ve doğal olarak yaptıkları işi bazı durumlarda sadece bir kaç yüz kişinin anlayabildiği işler yapan insanlar var. Yaptıkları işin fiziksel bağlamı konusunda şu an bir fikrimiz yok diye yaptıkları işin soyutluğunu sorgulamak tamamen ilkelliktir…

Bunun aynı zamanda medeniyetin ciddi bir barometresi olduğunu düşünüyorum;

Bilimsel çalışmalardan hep somut çıkarım beklemek bir toplumun geri kalmışlığının ciddi bir barometresi olabilir…

Meraklısı için; şu an ‘gereksiz’ görülen çıkarımların ileride ne kadar önemli olabileceğine dair çok kült bir makale mevcut:

Konuya geri dönecek olursak;

Evet matematikte bir çok şey, temel kavramlardan sonra insanların çıkarımı şeklinde üretilmiş yani icat edilmiştir. Ancak temel kavramların kendisinin zaten orada olan gerçeklikler olduğunu düşünüyorum…

Pi sayısı, Asal sayılar ve daha bir çok basit görünümlü matematiksel yapı bizim elimizle kurduğumuz yapılar değil, oradalar.

Doğayı irdeledikçe görüyoruz ki geçmişte ne işe yaradığını bilmediğimiz matematiksel yapılar kendilerine bir yerde anlam buluyorlar.

Plato’ya kadar uzanan daha da felsefik bir tartışma için (ben o kadar derin değilim…) aşağıdaki şu videoyu başlangıç için tavsiye ederim: