Einstein Özel-Genel Görelilik Kuramları Yazı Dizisi

Bu yazıda Görelilik üzerine yazdığım tüm yazıları birleştiriyorum… Yer yer ilginç şeyler bulduğumda tek bir yazı üzerinden güncellemeler yapmak niyetim.

Keyifli okumalar.


 

Özel Relativite… Özel Görelilik.

Önce isminden başlayalım; Nedir bu Relativiteyi özel kılan diye aklına gelenler vardır.

Aslında, ismi ‘Özel’ Relativite çünkü yine Einstein’ın geliştirdiği Genel Relativite’nin özel bir durumunu temsil eden bir kuram.

Nedir o özel durum?

Cisimlerin hareket etmediği ya da sabit hızla hareket ettiği durumları inceliyor bu kuram… Yani ivmelenme 0 (sıfır).

Okumaya devam et

Reklamlar

Stres-Enerji Tensörü / Genel Görelilik Kuramı Son Bölüm

Genel Görelilik Kuramını anlamak üzerine 4. yazımız ile devam ediyoruz.

Öncesinde;

Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Einstein Alan Denklemini oluşturan parçaları tek tek incelemeye başlayıp Metrik Tensörü ele almıştık:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/06/tensor-ve-metrik-tensor-nedir/

Ve son yazıda Einstein Alan Denklemini oluşturan parçalardan Ricci Tensörü ve sabitini öğrendik. Bununla beraber de denklemin sol tarafındaki terimlerin tamamını incelemiş olduk:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/09/ricci-tensoru-ve-sabiti-nedir/

…….

Bu yazıda Einstein Alan Denkleminin sağ tarafındaki terimi; Stress-Enerji Tensörünü inceleyeceğiz:

GR21

Önceki yazıda da belirttiğim gibi denklemin sol tarafındaki terimlerin tamamı uzayın geometrisi üzerine ve sağ tarafta da tamamen fiziksel bir terim mevcut.

Gelin inceleyelim:

Bir kağıda iki nokta çizsem, aralarındaki en kısa mesafeyi veren rota nedir? Herkesin bildiği gibi, bu iki noktayı birleştiren ‘doğru’dur.

Peki diyelim bu iki nokta bir kürenin ya da hiç aşina olmadığımız başka bir yapının üzerinde… O zaman bu iki noktanın arasındaki en kısa mesafeyi veren rotayı nasıl buluruz?

gr57.png

Not: Hatırlayalım ki Christoffel sembolü dediğimiz kavram; Türevin farklı geometrilerdeki/uzaylardaki karşılığında gelen ekstra düzeltme terimiydi ve şimdi kuvvet ile doğrudan eşit olduğunu bulduk. Peki türev neyi hesaplıyordu; ~yüzeyin eğimini.  Yani bir anlamda;

Herhangi bir geometrideki eğim hesabının normal kartezyen uzaya göre olandan farklı/ekstra kısmını veren terim (Christoffel Sembolü) aslında ~kuvvet terimiymiş. Bir anlamda geometrinin getirdiği yüzey gerilimi gibi düşünülebilir.

O halde şimdi Christoffel Sembolünün açık halini hatırlayalım:

gr58

Şimdi, varsayalım ki elimizde tamamen yavaş hareketleri incelediğimiz durumlar var. Bu durumda biliyoruz ki Genel Görelilik, bildiğimiz Newton mekaniğine yaklaşıyor. Yine biliyoruz ki metrik tensör, g terimi,  sabite (1) dönüşüyor. Dolayısıyla g’nin tek önemli terimi, zaman terimi olacak… Buradan;

gr60

Bu aşamada matematikteki önemli teoremlerden birine ihtiyacımız olacak (divergence theorem):

Herhangi bir vektörün( kuvvet gibi) bir yüzey alanındaki toplam değeri, o vektörün türevinin kapalı yüzeyin hacminin içindeki toplam değerine eşittir. Bir başka deyişle:

GR61.png

gr62

…..

Evet şu an Einstein denkleminin sağ tarafını; yani Stress-Enerji tensörü kısmını da bitirmiş durumdayız.

Kimilerinin fazla matematik kullanmışsın, bilenlerin de matematiği parçalamışsın diyebileceği şekilde Einstein Alan Denklemini çıkarmış bulunuyoruz.

…..

Bu noktaya gelene dek geçtiğimiz tüm kilometre taşları şimdi tek tek anlam kazanıyor:

  • Önce en basit kavramla başladık; normal uzaydan farklı bir uzayda geometrinin nasıl tanımlandığını inceledik. Gördük ki eskiye göre bazı kalibrasyonlar oluyor ve bunu ‘metrik tensör’ dediğimiz araç yapıyor.
  • Sonra farklı bir uzayda ‘türev’ yani yüzeyin anlık eğiminin, bildiğimiz uzaya göre nasıl değiştiğini araştırdık. Gördük ki eskiye göre bazı kalibrasyonlar oluyor ve bunu ‘Christoffel sembolü’ dediğimiz araç yapıyor.
  • Sonra farklı bir uzayın genel olarak eğriliğini nasıl buluruz diye araştırdık. Gördük ki Ricci tensörü; bir vektörü bir yüzey üzerinde paralel taşıdığımızda ne kadar değiştiğini veren araç. Yani bir anlamda eğriliğin ölçüsü.
  • Sonra keşfettik ki aslında Christoffel sembolü; yüzeyin anlık eğimine gelen kalibrasyon olduğu gibi aynı zaman yüzeyin üzerindeki kuvvetle de doğrudan orantılı (mantıklı)
  • Sonra kapalı bir yüzeyin üzerindeki toplam kuvveti hesapladık (yada bir hacmin içindeki toplam potansiyeli) ve gördük ki enerjinin korunumu yasası bize Ricci tensörü ile ilişkili bir eşitlik veriyor. Bunu bir anlamda bir yüzeyin üzerinde bir kuvvetin yaptığı toplam işin, o yüzeyde paralel taşınmış bir vektörün ne kadar farklılaştığını hesaplayan Ricci tensörü ile bağlantısı şeklinde düşünebilirsiniz.

Evet görüldüğü gibi kütle çekimi kavramını tamamen uzayı geometrisi ile açıklayan Einstein alan denklemini daha anlamışızdır umarım.

…..

Buradan sonra gidilebilecek en bariz yol bu denklemin çeşitli geometrilerde (yani farklı metrik tensörler için) çözümlerini bulmak… Göreceğiz ki kara delik dediğimiz yapılar bu farklı metriklerin tanımsız olduğu (matematiksel olarak sonsuz veren koordinatlar) yerlerde ortaya çıkacak.

Ancak kara delikler tabii ki başlı başına ayrı bir yazı konusu.

…..

Evet bu uzun ve yorucu serinin sonuna gelmiş bulunuyoruz!.. Sonunda 🙂

Bu seriyi oluşturan tüm yazıları birleştirip devasa bir Özel-Genel Görelilik yazısı oluşturacağım. Ve arada ilgi çekici şeyler gördüğümde de yeni şeyler ekleyip güncelleyeceğim.

Umarım meraklılar için faydalı olmuştur.

 

 

 

Ricci Tensorü ve Sabiti Nedir?!

Genel Görelilik Kuramını anlamak üzerine 3. yazımız ile devam ediyoruz.

Öncesinde;

Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Ve son yazıda Einstein Alan Denklemini oluşturan parçaları tek tek incelemeye başlayıp Metrik Tensörü ele almıştık:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/06/tensor-ve-metrik-tensor-nedir/

……..

Bu yazıda, Einstein Denkleminin bir diğer parçası olan Ricci Tensörü ve Eğim Sabitini (curvature scalar) inceleyeceğiz:

gr46

(Not: Detaya girmeden önce son paragrafları önce okuyup sonra da buraya geri dönebilirsiniz.)

Öncelikle tensörler hakkında genel bir bilgi ile başlayalım;

Herhangi bir W ve V tensörleri eğer bir x-koordinat sisteminde eşitse

gr47.png

Her koordinat sisteminde eşittir.

Yalnız aynı şey tensörlerin türevleri için geçerli değil; çünkü türev dediğimiz kavram yani incelediğimiz fonksiyonun belirli bir noktaki eğitimi, farklı koordinat sistemlerinde farklı olabilir.

GR48

Matematiksel hesapları atlayarak (bir önceki yazıdakine çok benzer yöntemlerle) farklı bir koordinat sistemine geçildiğinde bir tensörün türevi şöyle değişiyor:

gr49.png

Özetle bir tensörü bir koordinat sistemindeki türevi, başka bir koordinatta Christoffel Sembolü kadar bir düzeltmeye uğruyor diyebiliriz.

Özetle bir tensörün türevinin genel tanımı (genel türevi/covaryant türevi ∇ notasyonu ile gösteriyoruz):

gr50.png  (1)

Şimdi diyeceksiniz ki ‘Neden bu acıları çekiyoruz?!’…

Hemen açıklayayım:

i) Önceki yazıda metrik tensörü,

gr26 öğrenmiştik… Metrik tensör özetle; bir uzayın, kartezyen koordinatlara göre farkının (ya da ne kadar kalibre olduğunun) bilgisini veren tensördü… Kısaca, içinde bulunduğumuz uzayın geometrisini tanımlayan tensör.

ii) Az önce bir tensörün türevini hesaplamanın formülünü bulduk… Yani bir anlamda bir tensörün, tanımlandığı uzaydaki eğimini hesap edebiliriz.

O halde neden bunu metrik tensör için yapmayalım?!

Ve madem metrik tensör bize uzayın geometrisini tanımlayan tensör, bunun türevini bulmamız demek; içinde bulunduğumuz uzayın eğimi/eğriliği hakkında bize bilgi veren bir sonuç elde etmemiz demek.

………..

Denklem (1)’i kullanarak:

gr51.png (2)

Görüleceği gibi bu denklemden Christoffel Sembollerini hesaplayabiliriz (uzun iş)…

– Niye bu kadar taktın bu Christoffel Sembollerine, Einstein denkleminde geçmiyor bile?! diyeceksiniz…

Hemen şimdi anlatacağım sebepten,

…….

Bir kürenin üzerindeki üçgende bir vektör düşünün ve bu vektörü bu üçgen üzerinde kendisine paralel şekilde ilerletin:

gr52.png

Şekilden de görüldüğü gibi vektör başladığı halinden farklı bir yönde geri geliyor…

Büyüklüğü aynı ancak oryantasyonu farklı.

Örneğin bunun aynını küre üzerinde değil de bildiğimiz düz dikdörtgende yapsak, vektörün ne yönü ne boyutu değişir.

İşte bu ‘paralel taşıma’ dediğimiz işlemi yaptığımızda bir vektör aynı da kalabilir farklı da olabilir.

Bu iki vektör arasındaki farkı incelediğimizde, bu farka dV diye tanımlarsak (matematiksel detayı atlayarak)

gr54

Yani, Ricci Tensörü dediğimiz şey aslında bir anlamda; içinde bulunduğu uzayda/geometride bir vektörü paralel taşıdığımızda her noktada uğradığı değişimin, normal Kartezyen Koordinattaki durumdan farkını veren araç…

…….

Şimdi geldiğimiz noktayı özetleyelim:

  1. Önceki yazıda metrik tensörün, bir uzayın, kartezyen koordinatlara göre farkının (ya da ne kadar kalibre olduğunun) bilgisini veren tensör olduğunu öğrendik. Kısaca, içinde bulunduğumuz uzayın geometrisini tanımlayan tensör.
  2. Bu yazıda; farklı koordinatlarda bir tensörün türevinin kalibre olduğunu, bunun da ölçüsünün Christoffel sembolleri ile verildiğini gördük.
  3. Yine bu yazıda; bazı geometrilerde bir vektörün paralel taşıdığınızda aynı şekilde geriye dönmeyeceğini; bu taşıma işleminin bildiğimiz kartezyen koordinatlara göre farklılığının ölçüsünün de Ricci Tensörü tarafından belirlendiğini gördük.
  4.  Einstein denkleminde R şeklinde geçen ve eğim sabiti olarak adlandırılan sabit de tamamen bu Ricci tensöründen çıkarılan bir sabit. R=0 ise uzayımız eğimi olmayan Öklid uzayı. R sıfırdan farklıysa uzayımız eğimli.

Konuyu basitçe açıklayan bir video için:

 

……

Dikkat ederseniz oldukça ilerledik ve Einstein denkleminin sol tarafındaki sembollerin tamamının anlamını öğrendik;

GR21

Ve yine tüm bunlardan ortaya çıkan ilginç bir nokta daha var;

  • Şimdiye dek öğrendiğimiz her şey uzayın geometrisi ile ilgili bilgi veren matematiksel araçlardı. Denklemin sol tarafına bir bakalım; Ricci tensörü, Ricci sabiti ve metrik tensörden oluşuyor… Yani denklemin sol tarafı tamamen içinde bulunduğumuz uzayın geometrisi ile ilgili. Bir sonraki yazıda sağ tarafı incelediğimizde göreceğiz ki orada da geometriye dair hiç bir şey yok… Sağ tarafta Stress-Enerji tensörü sol tarafta uzayın geometrisi!..

İşte kütleçekiminin uzayın geometrisinden ileri gelen, öyle tanımlanan bir kavram olduğu gözlemi tam olarak Einstein denklemlerinin bu yapısından ileri gelmekte.

  • Üstelik hangi geometri olduğunu da empose etmiyor. Yani bu denklemin çok farklı boyuttaki veya özellikteki uzaylarda/geometrilerde çok ilginç çözümleri mümkün…

Bu da bizi 1-2 yazı sonra karadeliklere götürecek.

…..

Evet yolun yarısını geçmiş bulunuyoruz. Sonraki yazıda denklemin geri kalanını da bitirip çıkarımını yapacağız.

 

 

 

 

 

 

Tensor ve Metrik Tensor Nedir?!

Bu yazı, takip edenlerin de bildiği üzere Einstein’ın Görelilik kuramları serisinin 3. yazısı.

Önce Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Sonra Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Bu yazıda Einstein Alan Denklemini anlamamız ve hatta çıkarmamız için gerekli olan matematiksel araçlardan birini tanıyacağız: Tensörler…

Sonda söyleyeceğimi başta söyleyeyim (ki belirli bir algı en başta oluşsun);

‘Skalar’ kavramı ile başlayalım… Skalar dediğimiz şey basitçe herhangi bir fiziksel ölçümün değeri olarak düşünülebilir; 50 Kg, 90 km/saat, 30 Celcius vb…

Herhangi bir yön unsuru içermez; sadece nicelik simgeler; Skalar.

‘Vektör’ kavramı ile devam edelim… Vektör dediğimiz şey de hem bir nicelik hem de yön ifade eden kavramlar olarak düşünülebilir; Hız dediğimiz şey hem ‘sürat’ (90km/saat) hem de yön bilgisi içerir… 90 km/saat ile doğuya; benzer şekilde ivme, kuvvet vb…

Hem yön hem nicelik simgeler; Vektör.

Birazdan anlatacağım Tensörleri, bu gidişatın en genel hali olarak düşünebilirsiniz:

Skalar 0. dereceden; Vektör 1. dereceden Tensördür…

Örneğin 2. dereceden bir Tensör olarak

GR24  μ,ν = x,y,z

Bu tensörü 3 boyutlu herhangi bir cismin her yüzeyine uygulanan kuvveti temsil eden total bir gösterim olarak düşünebiliriz:

GR23.png

Örneğin Txy; x-y düzlemine etkiyen; Tzx; z-x düzlemine etkiyen kuvveti temsil eden değerlerdir… Hepsini total olarak bir matrix’te göstermek de mümkün;

gr25.png

Göreceğiniz üzere; bunu daha yüksek boyutlara da taşımak mümkün; 3. dereceden, 5. dereceden tensörler vb…

Şimdi Einstein’ın alan denklemlerindeki notasyona umarım biraz daha aşinayız:

GR21

Bakın burada her şey 2. dereden Tensörler cinsinden… Hepsinin az önceki örnekte, bir cismin içinde her yöne etki eden kuvvetlerin temsiline benzer şekilde bir anlamı var…

Öncelikle inceleyeceğimiz tensör; Metrik Tensör:

gr26

Nedir bu Metrik Tensör dediğimiz şey?!

Şimdi gelin en basit mevzudan başlayalım;

Bir x-y düzleminde bir vektörün boyutunu bulalım;

GR27.png

V’nin büyüklüğünü hepimizin bildiği Pisagor bağıntısından bulmak mümkün:

gr28.png

Şimdi; benzerini çok küçük bir vektör için hesaplayalım. Bu tarz küçük büyüklükleri göstermek için türev notasyonu  kullanıyoruz: ds vektörü diyelim…

ds adını vereceğimiz küçük vektör, yukarıdaki büyüğüne benzer şekilde hem x yönünde hem de y yönünde küçük değişimlerin toplamı olacaktır.

x yönündeki ufak değişim dx; y yönündeki ufak değişim dy olarak adlandırılacak doğal olarak…

Şimdi basit olarak

gr32.png

ve

gr36

Dolayısıyla herhangi bir büyüklüğün; ismi ∅ olsun, s vektörü yönündeki değişimini incelemek demek; ∅’nin hem x hem de y yönündeki değişimlerini inceleyip toplamak demek:

Yani;

gr35

Yaptığımız iş her yöndeki değişimi alıp toplamaktan öte bir şey değil…

Şimdi benzer şekilde;

gr37.png

…….

Şimdi kritik kısımlardan birine geldik; x- koordinat sisteminden farklı bir y- koordinat sistemine geçtiğimizi düşünelim (aşağıdaki durumun sadece 2 boyutta değil n boyutta olanını düşünün)

gr39.png

Bu durumda

gr41.png

Yani, baştan beri metrik tensör dediğimiz şey aşağıdaki ifade;

gr42.png

…….

Şimdi yorumlayalım;

Normal bir Kartezyen koordinat sisteminde bir vektörün büyüklüğünü hesaplayarak başladık. Sonra eğer bir koordinat değişimi yaparsak bu vektörün büyüklüğünü veren denklemde ‘metrik tensör’ ifadesi gibi bir değişim faktörü olduğunu bulduk.

Buradan çıkarılacak sonuç şudur;

Eğer koordinat değişimini yine benzer bir kartezyen sisteme yapıyorsak sorun yok; bir vektörün büyüklüğünün hesabı değişmiyor.

Ancaaak, örneğin bu vektörün büyüklüğünü bir kürenin üzerinde hesaplamak istiyorsak o zaman ‘metrik tensör’ kadar bir kalibrasyon oluyor.

Özetle; metrik tensör dediğimiz kavram içinde bulunduğumuz uzayın geometrisinin, normal kartezyen koordinat sisteminden/Öklid uzayından ne kadar farkı var ve ne kadar kalibre olmuş, bize onu söylüyor.

gr43.gif

………….

Evet şu an Einstein Alan denklemlerini anlamaya bir adım daha yaklaştık…

Metrik Tensör, kavramı oldukça önemli. Farklı uzayların yapısını tek bir ifadede özetleyen bir araç farkındaysanız ve birini diğerine göre kıyaslama imkanı da veriyor.

Fizikçilerin evreni doğru modelleyen kuramlar arayışındaki en temel noktalardan biri de, modeli doğru bir geometride (yani doğru bir metrikte) tanımlamak. O yüzden şu an çok temel bir kavramı öğrenmiş durumdayız.

Bir geometriyi tanımlayan Metrik ne bildiğimiz zaman, örneğin o geometrinin eğimi dahil bir çok özelliğini bulmamız kolaylaşacak… Bu da bizi sonraki yazının konularına götürecek.

 

 

 

 

Nedir bu Genel Görelilik?! – Başlangıç

Bir önceki yazıda Einstein’ın 1905’te ortaya koyduğu Özel Görelilik Kuramı üzerine temel bir giriş yapmıştık.

Çok temel iki kabulleniş, basit matematik ve bir düşünce deneyi ile bildiğimiz Newton fiziğini derinden etkileyecek sonuçlar çıkardık.

Genel Görelilik Kuramında da benzer şekilde ilerleyeceğiz… Ancak ne yazık ki önceki yazının aksine bu sefer biraz daha fazla matematiksel araca ihtiyacımız olacak… Tabii burada bana yazık oluyor :)..

Çünkü Genel Görelilik hakkında havada kalan, kimsenin anlamadığı terimlerin havada uçuştuğu, ne okuyanın okuduğundan ne de yazanın yazdığından bir şey anlamadığı bir yazı çıkarma cenderesine girmemek için bazı konuları sırasıyla anlatmam gerekecek…

Bunların hepsini yine kendi içinde anlaşılabilir ve basit şekilde anlatacağım. Bunun olması gerek çünkü;

  • Bilimsel konularda sırf ‘teknik detayını nasılsa kimse bilmiyor’ motivasyonuyla alakasız bir çok insanın bayağı alakasız şeyler yazdığını gözlemliyorum… Bilimsel argumanlarla ilgili en temel sıkıntı da bu. Normal bir eğitim almış insanın neyin bilimsel olup olmadığı konusundaki algısının sınırlı olması mevzusu, bu durumdan faydalanıp kendi saçma sapan literatürlerini yaratan bir kitle oluşturuyor.

Sonra da insanlar tutup bu saçmalıklarla dolu literatürün gerçek olmadığını anlatmaya çalışıyor…

Halbuki ortaya gerçek bilim işi koymak, bilimle ilgisi olmayan bir şeyin yanlışlığını ispatlamaya çalışmaktan bin kat daha değerli bence.

İnsanlar eforlarını düzgün ve pragmatik harcamalı. Kimsenin saçma argumanlarının yörüngesine girmemeli diye düşünüyorum. Tersi, sizi daima etkiye tepki veren, kendi ajandasını unutmuş kişiliksiz bireyler haline dönüştürmekten öteye götürmeyecektir… (bence)

  • İspatlamaya çalışacağımız denklem şu arkadaşlar:

GR21

Şöyle uzaktan bakıldığında baya farklı bir dilde kodlanmış bir yazı olarak görülebilir. Mevzuyu hiç bilmeyenlerin anladığı tek notasyon ‘+’, ‘=’ ve 1/2…  ha bir de c var ışık hızı. Gerisi muamma…

Bazen düşünüyorum da… Bir kaç yüz yıl sonra bu notasyonları gören biri aynı bizim hiyerogliflere baktığımız tebessümle mi bakacak?!

Şimdi diyorum ki biz denklemi sadece şu şudur, bu budur diye açıklamayacağız… Bu seri bittiğinde ispatlamış olacağız!

O halde gelin sıfırdan başlayalım.

Öncelikle formülde ne nedir, ne anlama gelir:

Rμν ; Ricci curvature (eğim) tensor,

R; scalar curvature,

gμν; metric tensor,

Λ ; cosmological constant,

G is Newton’s gravitational constant,

Tμν stress–energy tensor.

Şimdi görüldüğü gibi her şeyin başında önce bir Tensor kavramı var… Nedir bu Tensor dediğimiz şey, onu anlamamız lazım. Gerisi kendiliğinden gelecek…

Dolayısıyla sizlere Genel Görelilik konusunu anlatmak için belirli bir sırayı takip edeceğim (arada duruma göre oynamalar olabilir).

  • Mevzunun başlangıcı doğal olarak Tensor Nedir?!
  • Metrik Tensör Nedir?
  • Christoffel Sembolleri
  • Ve sonrasında Ricci Curvature ve Skalar; Stress-Energy Tensörleri…

Ancak minimum bu kadar yazı sonra Einstein Alan Denklemlerini çıkaracağız.

Biliyorum uzun görünüyor… Bir de bana sorun! :)..

Ancak insanlık tarihinin en büyük keşiflerinden biri olan kütleçekim dalgalarından karadeliklere; astrofizikteki hemen her gözlemin kesin yapılmasına vb. bir çok şeyin doğrudan sebebi olan bir sonucu anlamak için aslında çok da değil…

Einstein bu sonuca varabilmek için aşağı yukarı 10 yıl çalışıyor.

1915’te yayınladığı makalesi ilk başta büyük bir etki yaratıyor tabii ancak deneysel veri olmadığı için onu şu andaki statüsüne taşımaya yetmiyor.

http://hermes.ffn.ub.es/luisnavarro/nuevo_maletin/Einstein_GRelativity_1916.pdf

Taa ki 1919’daki Arthur Eddington’ın Güneş Tutulması sırasında ışığın güneşin kütleçekimi tarafından bükülmesini göstermesine kadar…

Bu tarihten itibaren Einstein tam bir süperstar statüsüne erişiyor.

…………

Ancak tüm bu kavramları inceleyip sonunda denklemi elde ettiğimizde oturup anlamı üzerine konuşacağız. Çünkü başta da dediğim gibi şu an ne yorum yapsak havada kalır. Ve göreceksiniz ki ispata dek gittiğimiz yol, en sonda denklemi elde ettiğimizde bize zaten yorum yapacak bir derinlik kazandırmış olacak.

Evet o halde ilginç bir yolculuğa başlamak üzereyiz…

Sonraki yazıda ‘Tensor’ kavramı üzerinden başlıyoruz!

Nedir bu Özel Görelilik Kuramı?!

Özel Relativite… Özel Görelilik.

Önce isminden başlayalım; Nedir bu Relativiteyi özel kılan diye aklına gelenler vardır.

Aslında, ismi ‘Özel’ Relativite çünkü yine Einstein’ın geliştirdiği Genel Relativite’nin özel bir durumunu temsil eden bir kuram.

Nedir o özel durum?

Cisimlerin hareket etmediği ya da sabit hızla hareket ettiği durumları inceliyor bu kuram… Yani ivmelenme 0 (sıfır).

Mevzuyu anlatmaya başlamadan önce benim de yeni öğrendiğim ufak bir not:

Einstein görelilik kuramı üzerine düşünmeye çok gençken okuduğu Aaron Bernstein’ın ‘Doğa Bilimleri üzerin Popüler Kitaplar’ serisinden esinlenerek başlıyor… Kitapların birinde, bir ışık hüzmesinin üzerine oturulduğunun hayal edildiği düşünsel deney onu çok etkiliyor ve bunun nasıl bir şey olabileceğini düşünmeye başlamasından 10 yıl sonra bilim ve insanlık tarihindeki en önemli gelişmelerden birini yaratmasına motivasyon oluyor.

GR18

O yüzden genç birinin bu yaşlarda ne okuduğu, nelerden etkilendiği o kadar önemli ki… Çocukluk ve hatta ergenlikte sahip olup da büyüyünce tamamen kaybettiğimiz en önemli şey, deneyip hata yapmanın hiç de büyütülecek bir şey olmadığı algısı. Çocuklarda öyle bir nosyon bile yok… Aptalca bir şey düşünmek diye bir kavram, herhangi bir düşüncenin/fikrin yanlışlığından utanma kavramı ancak biz onlara hissettirdiğimizde ve sonra 3 yanlışın 1 doğruyu götürdüğü eğitim sistemiyle tanıştığında oturan olgular…

Neyse, demem o ki taa 1800’lü yıllarda yazılmış bir popüler bilim kitabında söylenenler, genç bir insanı gelmiş geçmiş en önemli bilim insanlarından birine dönüştürecek yolu açabiliyor.

Evet gelelim bu çok Özel Relativite kuramımıza:

Einstein çok temel iki kabulleniş ile başlıyor. Bu iki kabullenişi kullanıp sıfırdan neler bulacağımıza şaşıracaksınız…

  1. Fizik kanunları her eylemsiz referans noktasında aynı çalışır… Türkçesi; üzerinde net kuvvet olmayan yani ivmelenmeyen her ortamda fizik kanunları aynıdır. Otururken yere düşürdüğüm elmayı, yüzlerce km/saat sabit hızla havada giden uçakta da düşürsem yine aynı şekilde yere düşer.
  2. Işık hızı her eylemsiz referans noktası için aynı ve sabit değere sahiptir;               c=~300bin km/sn… Türkçesi; ister çok hızlı giden bir uzay aracında ister oturduğumuz yerde ölçüm yapalım, ışık hızı evrensel bir sabittir.

Şimdi bu iki kabulleniş bakalım bize ne getirecek;

Öncelikle herhangi bir olay düşünelim… Bir olayı tanımlayan en basit şeyin nerede ve ne zaman olduğundan yola çıkarsak, herhangi bir A olayını

GR4.png

koordinatlarıyla tanımlayabiliriz. Yani uzay koordinatları ve zaman. Bu A olayı sabit duran bir O ortamında gerçekliyor olsun.

Aynı O ortamında bir başka olay düşünelim, adı B olsun ve

GR5

koordinatlarıyla temsil edilsin.

Şimdi, A noktasında B noktasına bir ışık yolladığımızı düşünelim ve bu yolla iki olay arasındaki mesafeyi ölçelim:

Koordinat olarak iki olay arasındaki mesafe basit; İki noktanın koordinatlarının birbirinden farkının büyüklüğü:

İki olay arasındaki mesafe:

GR6

 

Fakat bu aynı zamanda A’dan B’ye gönderdiğimiz ışığın alacağı mesafe yani

c(t-t’)

Özetle:

GR7

ya da

GR8.png                                               [1]

 

……

Buraya kadar tamamsak aslında baya önemli bir mesafe aldık ama henüz farkında değiliz!..

Şimdi deminki durağan O ortamından farklı bir O’ ortamı düşünelim… Bu O’ ortamı O’ya göre x-ekseninde v hızı ile hareket ediyor olsun.

Aynı deneyi farklı iki olay arasında yapsak ve yine aralarındaki mesafeyi ölçsek bu sefer elimizde farklı bir koordinat sisteminde benzer bir denklem olacak:

GR9                                       [2]

GR14.png

……

Elimizde iki farklı ortamda olan olaylar arasındaki mesafeyi ölçen iki denklem var…

1 ve 2. denklemlerin ikisi de 0’a (sıfır) eşit… Birbirlerine eşitleyebiliriz:

GR10.png

Şimdi biliyoruz ki O’, O’ya göre v hızıyla ve x-ekseni yönünde ilerliyor… Matematiksel ispatını yapmayacağım ama içsel olarak da anlayabiliriz ki bu eşitlikte y ve z koordinatlarını gözden çıkarabilir (sıfıra eşitleyip) mevzuyu basitleştirebiliriz.

Ek olarak; A olayını orijine yani (0,0,0,0) noktasına alırsak denklemimizi aşağıdaki basitliğe indirebiliriz:

GR11

…….

Bu denklem çözmesini bildiğimiz bir denklem;

GR12.png

Bu iki denklemden x ve t’yi açık açık hesaplarsak;

GR13.png

Buluyoruz.

Şu anda devrimsel bir sonuca ulaştık!…

Basit bir düşünce deneyinden çıkan sonuçla; biri diğerinden sabit v hızıyla uzaklaşan iki ortamdaki olayların koordinatları arasındaki ilişkiyi bulduk…

Bulmakla da kalmadık, bu ikisi arasındaki ilişkinin bir şekilde ışık hızına da bağlı olduğunu çıkardık!..

……

Bakın bu probleme aslında çok aşinayız. Nereden mi?.. Tüm eğitim hayatımızdan!..

Şu kadar hızla akan bir derede akıntının tersine bu kadar hızla gitmeye çalışan bir kayık ile karada duran birinin bu kayığı nasıl gördüğü ile ilgili üniversite sınav soruları bile var…

Şimdi yukarıda x ve t’yi veren denklemlerde v’yi çok küçük alalım… Işık hızına oranı çok küçük olsun. Bu durumda üstteki denklem aşağıdaki haline sadeleşir:

x = x’ + vt’

t = t’

elde ederiz… Yani bildiğimiz Newton fiziği ve Merhaba Lise 1 Fizik, Bağıl Hız konusu!…

……

Kuantum fiziği, nasıl çok küçük boyutlarda Newton fiziğinden farklı bir dünya olduğunu gösteriyorsa; Özel Relativite de ışık hızına yakın hızlarda Newton fiziğinin değiştiğini gösteriyor.

Göreceli hızlar küçükse sorun yok, ışık hızına yakın hızlarda ise durum değişiyor.

Örneğin yukarıdaki denklemlerden hemen iki sonuç çıkarmak mümkün:

  1. Görece hız, ışık hızına yaklaştığında mesafeler daralıyor!
  2. Görece hız, ışık hızına yaklaştığında zaman yavaşlıyor!

En güzel özeti, ışık hızına yaklaştıkça bir küp nasıl değişiyor simülasyonunda görmek mümkün:

GR15

……

Evet oturduğumuz yerden; yüksek sabit hızlarda zamanın yavaşlayacağını, mesafelerin daralacağını bulduk!..

Bunun tabii günümüz teknolojisini etkileyen o kadar temel sonuçları var ki… Örneğin GPS sistemlerinin tamamı, yörüngedeki uyduların dünyanın çevresinde çok hızlı dönmesinden kaynaklı yaşanan (çok ufak da olsa) zaman kayması hesap edilip tasarlanıyor!..

Evet astronotlar toplamda bizden bir kaç saniye daha az yaşlanıyor :)..

……

Buradan gidebileceğimiz sonraki adım elimizdeki yeni mesafe ve zaman tanımlarının bildiğimiz diğer fiziksel değerleri nasıl etkileyeceği…

Örneğin meşhur

GR16.png

denklemini rahatça hepimizin bildiği

GR17

bağlantısında az önce x ve t için bulduğumuz bağıntıları kullanarak elde edilebilir.

Bunu göstermeyeceğim çünkü zaten en temel sonuçları ortaya çıkardık.

Buradan sonra keşfetmeyi deneyebileceğimiz en bariz soru;

Peki ya göreceli hız sabit değil de ivmeliyse ne olacağı?!..

Tam bu noktada sizi meşhur Twin Paradoksu ile başbaşa bırakayım:

İkiz kardeşler düşünün, biri rokete atlayıp uzayda yolculuğa çıkıyor ve geri dönüyor… 30 yıl sonra. İkiziyle tekrar karşılaştıklarında uzaydaki kardeşin 26 yıl, dünyadakinin de 30 yıl yaşlandığı görülüyor. Peki bu nasıl mümkün?

Dünyadaki, rokettekini sabit hızla uzaklaşırken; roketteki de dünyadakini sabit hızla uzaklaşırken görüyor. Birbirlerinin ortamları hakkında algıları görünüşte aynıyken, roketteki neden daha genç dönüyor?!..

Cevap hakkında kopya çekmeden önce biraz düşünün isterim.

Sonra şu cevabı videodan öğrenebilirsiniz.

 

İkilemin sırrı; uzay yolculuğu yapanın tam geri dönerken aslında sabit hızlı ortam özelliğini kaybedip ivmelenmesi!.. Tam bu dönüş anındaki ivmelenmenin yaşandığı esnada Dünyadaki kardeş 4 yıl yaşlanıyor :)!..

…….

Tebrikler, Özel Relativite’nin en temel prensipleri hakkında şu an bir fikriniz var.

Artık en genel kuram olan Genel Relativite’ye doğru ilerleyebiliriz…

Sonraki yazıda!…

Not: Einstein’ın 1905’te yazdığı orijinal makale ve aslında yazdığı diğer her şeyi (Evet her şeyi) şu linkte bulabilirsiniz:

http://einsteinpapers.press.princeton.edu/vol2-trans/154

 

Kuramsal Fiziğin öngördüğü ekstra boyutları neden hissedemiyoruz?

Bir gitar düşünün, tek teli var ve akord edilmiş… Telin değişik yerlerinden farklı kuvvette vuruşlar yapmalıyız ki farklı bir çok ses elde edebilelim. Bir de notalar var; notalar telin oluşturduğu temel sesler olarak tanımlanabilir. Temel sesler derken kastettiğim; diğer bütün sesleri bu notaların farklı kombinasyonlarından elde edebiliyor olmamızdır.

Hatta yardımcı olayım size:

Şimdi aynı şeyin içinde yaşadığımız evrene uyarlanabileceğini düşünün!.. Nasıl mı?
Neredeyse bir yüz yıldır fizikçiler, evreni bütünyle açıklayabilen bir teorinin arayışı içindeler. Evreni bütünüyle açıklamakla kasıt, ayrı ayrı kavramları açıklayan teorilerin tamamını birleştiren genel bir teori bulmak… Doğada herşeyi yöneten dört temel kuvvet mevcut:

Kütle çekimi; Genel Relativite ile
Zayıf ve Kuvvetli Nükleer Kuvvetler; Kuantum Mekaniği ile
Yükler arası çekim; Elektromanyetik Teori ile
açıklanır.

Sicim Teorisi (String Theory) denilen kuram, doğadaki dört temel kuvvet ve bunları açıklayan üç teoriyi bir arada barındırıp, en azından matematiksel olarak doğru bir şekilde açıklayan ilk ve tek teoridir.

Sicim teorisi aslında basit bir mantıkla, doğadaki temel parçacıkların, aynı gitarın tellerinden çıkan notalar gibi, ufak sicimlerin titreşimleri olduğu prensibinden yola çıkmaktadır.

Theory of Everything - String Theory 4

Bu temel varsayımdan yola çıkıldığında 1980’lerin ikinci yarısında, doğadaki temel kuvvetlerin tamamını içinde barındıran ve içinde yaşadığımız evreni açıklamaya aday 5 tane tutarlı ve farklı Sicim Teorisi bulunmuştur. Önceleri, bilim adamları bu 5 teorinin birbiriyle yarışacağını, en tutarlı sonuçları veren ve deneysel sonuçlarla tutarlılık gösteren teorinin yarışı kazanacağına inanıyorlardı. Bu teorilerin en belirgin ortak özellikleri hepsinde evrenin 10 boyutlu ve hepsinin süpersimetrik (bkz: https://cangurses.wordpress.com/2013/04/19/herkese-bir-superpartner/ ) olmasıdır.

 

Peki bu ekstra boyutları neden günlük yaşamımızda göremiyoruz, hissedemiyoruz?

Aslında cevabı çok basit; iki tepe arasına gerilmiş bir halatta yürüyen bir karıncaya 1 km. uzaktan baktığınızı düşünün

ant1.png

O kadar uzak mesafeden karıncanın rotası size tek boyut üzerinden görünecektir. Yani o esnada biri size ‘Karınca nerede?’ diye sorsa sadece yatayda aldığı mesafeyi söyleyip geçersiniz… Halbuki çok çok yakından bakıldığında, karıncanın halat üzerinde sarmallar çizerek ilerlediği, yani 3 boyutlu bir hareket yaptığı net aslında.

İşte içinde yaşadığımız 4 boyutlu evreninin geri kalan boyutlarına dair algımızda aynı bu şekilde…

Sebep yine aynı; String Theory’deki temel mesafe birimi Planck ölçeğinin uzunluğu

h= 1.6 10^(-35) metre… Yani bir protonon çapının 10^(-20)’si kadar küçük…

Şöyle ifade edeyim, bizim için atom neyse atom için de Planck uzunluğu o!…

İşte evrenin; içinde bulunduğumuz uzay-zamanın bu kadar küçük bir ölçeğe kadar inildiğinde aslında sürekli değil parçalı bir yapıya sahip olduğu (yani aralarında kısa kısa mesafeler (planck ölçeğinde) olan noktalar gibi düşünün) düşünülüyor ve ancak bu ölçeklere inildiğinde bu boyutların etkisinin hissedilebileceği öngörülüyor.

Örneğin CERN gibi parçacık hızlandırıcılarının bir önemi de bu… Az önce bahsettiğim gibi eğer temel parçacıklar aslında 10 boyutta titreşen ufak iplikler ise teorik olarak şu an bu ipliklerin her boyuttaki titreşimlerinin enerjilerini hesaplayabiliyoruz. Dolayısıyla belki şu an elimizdeki hızlandırıcılarla değil ama daha iyileriyle bu ölçümlerin deneyini de yapmak mümkün olacak.

Yani tüm devletlerin bir araya gelip, binlerce bilim insanından oluşan bir merkez kurup, her yıl milyarlarca dolar harcayıp ‘atomları ışık hızına yaklaştırıp çarpıştırmalarının’ çok temel bir sebebi var;

Evrenin en temel prensibini anlamak…

Bakın, Planck boyutuna inildiğinde uzayın dokusunun neye benzeyebileceğine dair bir simülasyon size fikir verecektir: