Stres-Enerji Tensörü / Genel Görelilik Kuramı Son Bölüm

Genel Görelilik Kuramını anlamak üzerine 4. yazımız ile devam ediyoruz.

Öncesinde;

Özel Görelilik kuramının temel ilke ve sonuçlarını inceledik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/03/nedir-bu-ozel-relativite/

Genel Görelilik kuramına bir başlangıç yazısı ile devam ettik:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/04/nedir-bu-genel-gorelilik-baslangic/

Einstein Alan Denklemini oluşturan parçaları tek tek incelemeye başlayıp Metrik Tensörü ele almıştık:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/06/tensor-ve-metrik-tensor-nedir/

Ve son yazıda Einstein Alan Denklemini oluşturan parçalardan Ricci Tensörü ve sabitini öğrendik. Bununla beraber de denklemin sol tarafındaki terimlerin tamamını incelemiş olduk:

https://cangurses.wordpress.com/2017/09/09/ricci-tensoru-ve-sabiti-nedir/

…….

Bu yazıda Einstein Alan Denkleminin sağ tarafındaki terimi; Stress-Enerji Tensörünü inceleyeceğiz:

GR21

Önceki yazıda da belirttiğim gibi denklemin sol tarafındaki terimlerin tamamı uzayın geometrisi üzerine ve sağ tarafta da tamamen fiziksel bir terim mevcut.

Gelin inceleyelim:

Bir kağıda iki nokta çizsem, aralarındaki en kısa mesafeyi veren rota nedir? Herkesin bildiği gibi, bu iki noktayı birleştiren ‘doğru’dur.

Peki diyelim bu iki nokta bir kürenin ya da hiç aşina olmadığımız başka bir yapının üzerinde… O zaman bu iki noktanın arasındaki en kısa mesafeyi veren rotayı nasıl buluruz?

gr57.png

Not: Hatırlayalım ki Christoffel sembolü dediğimiz kavram; Türevin farklı geometrilerdeki/uzaylardaki karşılığında gelen ekstra düzeltme terimiydi ve şimdi kuvvet ile doğrudan eşit olduğunu bulduk. Peki türev neyi hesaplıyordu; ~yüzeyin eğimini.  Yani bir anlamda;

Herhangi bir geometrideki eğim hesabının normal kartezyen uzaya göre olandan farklı/ekstra kısmını veren terim (Christoffel Sembolü) aslında ~kuvvet terimiymiş. Bir anlamda geometrinin getirdiği yüzey gerilimi gibi düşünülebilir.

O halde şimdi Christoffel Sembolünün açık halini hatırlayalım:

gr58

Şimdi, varsayalım ki elimizde tamamen yavaş hareketleri incelediğimiz durumlar var. Bu durumda biliyoruz ki Genel Görelilik, bildiğimiz Newton mekaniğine yaklaşıyor. Yine biliyoruz ki metrik tensör, g terimi,  sabite (1) dönüşüyor. Dolayısıyla g’nin tek önemli terimi, zaman terimi olacak… Buradan;

gr60

Bu aşamada matematikteki önemli teoremlerden birine ihtiyacımız olacak (divergence theorem):

Herhangi bir vektörün( kuvvet gibi) bir yüzey alanındaki toplam değeri, o vektörün türevinin kapalı yüzeyin hacminin içindeki toplam değerine eşittir. Bir başka deyişle:

GR61.png

gr62

…..

Evet şu an Einstein denkleminin sağ tarafını; yani Stress-Enerji tensörü kısmını da bitirmiş durumdayız.

Kimilerinin fazla matematik kullanmışsın, bilenlerin de matematiği parçalamışsın diyebileceği şekilde Einstein Alan Denklemini çıkarmış bulunuyoruz.

…..

Bu noktaya gelene dek geçtiğimiz tüm kilometre taşları şimdi tek tek anlam kazanıyor:

  • Önce en basit kavramla başladık; normal uzaydan farklı bir uzayda geometrinin nasıl tanımlandığını inceledik. Gördük ki eskiye göre bazı kalibrasyonlar oluyor ve bunu ‘metrik tensör’ dediğimiz araç yapıyor.
  • Sonra farklı bir uzayda ‘türev’ yani yüzeyin anlık eğiminin, bildiğimiz uzaya göre nasıl değiştiğini araştırdık. Gördük ki eskiye göre bazı kalibrasyonlar oluyor ve bunu ‘Christoffel sembolü’ dediğimiz araç yapıyor.
  • Sonra farklı bir uzayın genel olarak eğriliğini nasıl buluruz diye araştırdık. Gördük ki Ricci tensörü; bir vektörü bir yüzey üzerinde paralel taşıdığımızda ne kadar değiştiğini veren araç. Yani bir anlamda eğriliğin ölçüsü.
  • Sonra keşfettik ki aslında Christoffel sembolü; yüzeyin anlık eğimine gelen kalibrasyon olduğu gibi aynı zaman yüzeyin üzerindeki kuvvetle de doğrudan orantılı (mantıklı)
  • Sonra kapalı bir yüzeyin üzerindeki toplam kuvveti hesapladık (yada bir hacmin içindeki toplam potansiyeli) ve gördük ki enerjinin korunumu yasası bize Ricci tensörü ile ilişkili bir eşitlik veriyor. Bunu bir anlamda bir yüzeyin üzerinde bir kuvvetin yaptığı toplam işin, o yüzeyde paralel taşınmış bir vektörün ne kadar farklılaştığını hesaplayan Ricci tensörü ile bağlantısı şeklinde düşünebilirsiniz.

Evet görüldüğü gibi kütle çekimi kavramını tamamen uzayı geometrisi ile açıklayan Einstein alan denklemini daha anlamışızdır umarım.

…..

Buradan sonra gidilebilecek en bariz yol bu denklemin çeşitli geometrilerde (yani farklı metrik tensörler için) çözümlerini bulmak… Göreceğiz ki kara delik dediğimiz yapılar bu farklı metriklerin tanımsız olduğu (matematiksel olarak sonsuz veren koordinatlar) yerlerde ortaya çıkacak.

Ancak kara delikler tabii ki başlı başına ayrı bir yazı konusu.

…..

Evet bu uzun ve yorucu serinin sonuna gelmiş bulunuyoruz!.. Sonunda 🙂

Bu seriyi oluşturan tüm yazıları birleştirip devasa bir Özel-Genel Görelilik yazısı oluşturacağım. Ve arada ilgi çekici şeyler gördüğümde de yeni şeyler ekleyip güncelleyeceğim.

Umarım meraklılar için faydalı olmuştur.

 

 

 

Reklamlar